Leysa {l}{9m+7n=178}{9m+6n=168}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 m + 7 n = 178 } \\ { 9 m + 6 n = 168 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir m, n

$$m=12$$

$$n=10$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$9m+7n=178,9m+6n=168$$

Veldu eina jöfnuna og leystu m með því að einangra m vinstra megin við samasemmerkið.

$$9m+7n=178$$

Dragðu 7n frá báðum hliðum jöfnunar.

$$9m=-7n+178$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$m=\frac{1}{9}\left(-7n+178\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{9} sinnum -7n+178.

$$m=-\frac{7}{9}n+\frac{178}{9}$$

Settu \frac{-7n+178}{9} inn fyrir m í hinni jöfnunni, 9m+6n=168.

$$9\left(-\frac{7}{9}n+\frac{178}{9}\right)+6n=168$$

Margfaldaðu 9 sinnum \frac{-7n+178}{9}.

$$-7n+178+6n=168$$

Leggðu -7n saman við 6n.

$$-n+178=168$$

Dragðu 178 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-n=-10$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$n=10$$

Skiptu 10 út fyrir n í m=-\frac{7}{9}n+\frac{178}{9}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$m=-\frac{7}{9}\times 10+\frac{178}{9}$$

Margfaldaðu -\frac{7}{9} sinnum 10.

$$m=\frac{-70+178}{9}$$

Leggðu \frac{178}{9} saman við -\frac{70}{9} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$m=12$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=12,n=10$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$9m+7n=178,9m+6n=168$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}9&7\\9&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}178\\168\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}9&7\\9&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\9&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&7\\9&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\9&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}178\\168\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\9&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}178\\168\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\9&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}178\\168\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{9\times 6-7\times 9}&-\frac{7}{9\times 6-7\times 9}\\-\frac{9}{9\times 6-7\times 9}&\frac{9}{9\times 6-7\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}178\\168\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{7}{9}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}178\\168\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 178+\frac{7}{9}\times 168\\178-168\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\10\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna m og n.

$$m=12,n=10$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$9m+7n=178,9m+6n=168$$

Dragðu 9m+6n=168 frá 9m+7n=178 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$9m-9m+7n-6n=178-168$$

Leggðu 9m saman við -9m. Liðirnir 9m og -9m núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$7n-6n=178-168$$

Leggðu 7n saman við -6n.

$$n=178-168$$

Leggðu 178 saman við -168.

$$n=10$$

Skiptu 10 út fyrir n í 9m+6n=168. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$9m+6\times 10=168$$

Margfaldaðu 6 sinnum 10.

$$9m+60=168$$

Dragðu 60 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$9m=108$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$m=12$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=12,n=10$$