Leysa {l}{9m+6n=123}{9m+5n=113}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 m + 6 n = 123 } \\ { 9 m + 5 n = 113 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir m, n

$$m=7$$

$$n=10$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

Veldu eina jöfnuna og leystu m með því að einangra m vinstra megin við samasemmerkið.

$$9m+6n=123$$

Dragðu 6n frá báðum hliðum jöfnunar.

$$9m=-6n+123$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$m=\frac{1}{9}\left(-6n+123\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{9} sinnum -6n+123.

$$m=-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3}$$

Settu \frac{-2n+41}{3} inn fyrir m í hinni jöfnunni, 9m+5n=113.

$$9\left(-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3}\right)+5n=113$$

Margfaldaðu 9 sinnum \frac{-2n+41}{3}.

$$-6n+123+5n=113$$

Leggðu -6n saman við 5n.

$$-n+123=113$$

Dragðu 123 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-n=-10$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$n=10$$

Skiptu 10 út fyrir n í m=-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$m=-\frac{2}{3}\times 10+\frac{41}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{3} sinnum 10.

$$m=\frac{-20+41}{3}$$

Leggðu \frac{41}{3} saman við -\frac{20}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$m=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=7,n=10$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9\times 5-6\times 9}&-\frac{6}{9\times 5-6\times 9}\\-\frac{9}{9\times 5-6\times 9}&\frac{9}{9\times 5-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{9}&\frac{2}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{9}\times 123+\frac{2}{3}\times 113\\123-113\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna m og n.

$$m=7,n=10$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

Dragðu 9m+5n=113 frá 9m+6n=123 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$9m-9m+6n-5n=123-113$$

Leggðu 9m saman við -9m. Liðirnir 9m og -9m núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6n-5n=123-113$$

Leggðu 6n saman við -5n.

$$n=123-113$$

Leggðu 123 saman við -113.

$$n=10$$

Skiptu 10 út fyrir n í 9m+5n=113. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$9m+5\times 10=113$$

Margfaldaðu 5 sinnum 10.

$$9m+50=113$$

Dragðu 50 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$9m=63$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$m=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=7,n=10$$