Leysa {l}{80x+160y=4}{x+3y=0.1}

$$\left. \begin{array} { l } { 80 x + 160 y = 4 } \\ { x + 3 y = 0.1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-0.05$$

$$y=0.05$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$80x+160y=4$$

Dragðu 160y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$80x=-160y+4$$

Deildu báðum hliðum með 80.

$$x=\frac{1}{80}\left(-160y+4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{80} sinnum -160y+4.

$$x=-2y+\frac{1}{20}$$

Settu -2y+\frac{1}{20} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+3y=0.1.

$$-2y+\frac{1}{20}+3y=0.1$$

Leggðu -2y saman við 3y.

$$y+\frac{1}{20}=0.1$$

Dragðu \frac{1}{20} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=\frac{1}{20}$$

Skiptu \frac{1}{20} út fyrir y í x=-2y+\frac{1}{20}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\times \frac{1}{20}+\frac{1}{20}$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{1}{20}.

$$x=-\frac{1}{10}+\frac{1}{20}$$

Leggðu \frac{1}{20} saman við -\frac{1}{10} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-\frac{1}{20}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80\times 3-160}&-\frac{160}{80\times 3-160}\\-\frac{1}{80\times 3-160}&\frac{80}{80\times 3-160}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80}&-2\\-\frac{1}{80}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\0.1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{80}\times 4-2\times 0.1\\-\frac{1}{80}\times 4+0.1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\\\frac{1}{20}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$80x+160y=4,x+3y=0.1$$

Til að gera 80x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 80.

$$80x+160y=4,80x+80\times 3y=80\times 0.1$$

Einfaldaðu.

$$80x+160y=4,80x+240y=8$$

Dragðu 80x+240y=8 frá 80x+160y=4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$80x-80x+160y-240y=4-8$$

Leggðu 80x saman við -80x. Liðirnir 80x og -80x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$160y-240y=4-8$$

Leggðu 160y saman við -240y.

$$-80y=4-8$$

Leggðu 4 saman við -8.

$$-80y=-4$$

Deildu báðum hliðum með -80.

$$y=\frac{1}{20}$$

Skiptu \frac{1}{20} út fyrir y í x+3y=0.1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+3\times \frac{1}{20}=0.1$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{1}{20}.

$$x+\frac{3}{20}=0.1$$

Dragðu \frac{3}{20} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-\frac{1}{20}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{1}{20},y=\frac{1}{20}$$