Leysa {l}{8y+x=7}{7y+8x=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 y + x = 7 } \\ { 7 y + 8 x = 16 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x = \frac{79}{57} = 1\frac{22}{57} \approx 1.385964912$$

$$y=\frac{40}{57}\approx 0.701754386$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$8y+x=7$$

Dragðu x frá báðum hliðum jöfnunar.

$$8y=-x+7$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$y=\frac{1}{8}\left(-x+7\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{8} sinnum -x+7.

$$y=-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}$$

Settu \frac{-x+7}{8} inn fyrir y í hinni jöfnunni, 7y+8x=16.

$$7\left(-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}\right)+8x=16$$

Margfaldaðu 7 sinnum \frac{-x+7}{8}.

$$-\frac{7}{8}x+\frac{49}{8}+8x=16$$

Leggðu -\frac{7x}{8} saman við 8x.

$$\frac{57}{8}x+\frac{49}{8}=16$$

Dragðu \frac{49}{8} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{57}{8}x=\frac{79}{8}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{57}{8}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=\frac{79}{57}$$

Skiptu \frac{79}{57} út fyrir x í y=-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=-\frac{1}{8}\times \frac{79}{57}+\frac{7}{8}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{8} sinnum \frac{79}{57} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$y=-\frac{79}{456}+\frac{7}{8}$$

Leggðu \frac{7}{8} saman við -\frac{79}{456} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$y=\frac{40}{57}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8\times 8-7}&-\frac{1}{8\times 8-7}\\-\frac{7}{8\times 8-7}&\frac{8}{8\times 8-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{57}&-\frac{1}{57}\\-\frac{7}{57}&\frac{8}{57}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{57}\times 7-\frac{1}{57}\times 16\\-\frac{7}{57}\times 7+\frac{8}{57}\times 16\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{57}\\\frac{79}{57}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

Til að gera 8y og 7y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 8.

$$7\times 8y+7x=7\times 7,8\times 7y+8\times 8x=8\times 16$$

Einfaldaðu.

$$56y+7x=49,56y+64x=128$$

Dragðu 56y+64x=128 frá 56y+7x=49 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$56y-56y+7x-64x=49-128$$

Leggðu 56y saman við -56y. Liðirnir 56y og -56y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$7x-64x=49-128$$

Leggðu 7x saman við -64x.

$$-57x=49-128$$

Leggðu 49 saman við -128.

$$-57x=-79$$

Deildu báðum hliðum með -57.

$$x=\frac{79}{57}$$

Skiptu \frac{79}{57} út fyrir x í 7y+8x=16. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$7y+8\times \frac{79}{57}=16$$

Margfaldaðu 8 sinnum \frac{79}{57}.

$$7y+\frac{632}{57}=16$$

Dragðu \frac{632}{57} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7y=\frac{280}{57}$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$y=\frac{40}{57}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$