Leysa {l}{8x-9y=15}{-5x+3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 9 y = 15 } \\ { - 5 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-6$$

$$y=-7$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$8x-9y=15$$

Leggðu 9y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$8x=9y+15$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(9y+15\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{8} sinnum 9y+15.

$$x=\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}$$

Settu \frac{9y+15}{8} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -5x+3y=9.

$$-5\left(\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}\right)+3y=9$$

Margfaldaðu -5 sinnum \frac{9y+15}{8}.

$$-\frac{45}{8}y-\frac{75}{8}+3y=9$$

Leggðu -\frac{45y}{8} saman við 3y.

$$-\frac{21}{8}y-\frac{75}{8}=9$$

Leggðu \frac{75}{8} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{21}{8}y=\frac{147}{8}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{21}{8}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-7$$

Skiptu -7 út fyrir y í x=\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{9}{8}\left(-7\right)+\frac{15}{8}$$

Margfaldaðu \frac{9}{8} sinnum -7.

$$x=\frac{-63+15}{8}$$

Leggðu \frac{15}{8} saman við -\frac{63}{8} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-6,y=-7$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}&-\frac{-9}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}&\frac{8}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{5}{21}&-\frac{8}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 15-\frac{3}{7}\times 9\\-\frac{5}{21}\times 15-\frac{8}{21}\times 9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-7\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-6,y=-7$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

Til að gera 8x og -5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 8.

$$-5\times 8x-5\left(-9\right)y=-5\times 15,8\left(-5\right)x+8\times 3y=8\times 9$$

Einfaldaðu.

$$-40x+45y=-75,-40x+24y=72$$

Dragðu -40x+24y=72 frá -40x+45y=-75 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-40x+40x+45y-24y=-75-72$$

Leggðu -40x saman við 40x. Liðirnir -40x og 40x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$45y-24y=-75-72$$

Leggðu 45y saman við -24y.

$$21y=-75-72$$

Leggðu -75 saman við -72.

$$21y=-147$$

Deildu báðum hliðum með 21.

$$y=-7$$

Skiptu -7 út fyrir y í -5x+3y=9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-5x+3\left(-7\right)=9$$

Margfaldaðu 3 sinnum -7.

$$-5x-21=9$$

Leggðu 21 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-5x=30$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$x=-6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-6,y=-7$$