Leysa {l}{8x-5y=10}{6x-4y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 5 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

$$y=-14$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$8x-5y=10$$

Leggðu 5y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$8x=5y+10$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+10\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{8} sinnum 10+5y.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}$$

Settu \frac{5}{4}+\frac{5y}{8} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 6x-4y=11.

$$6\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}\right)-4y=11$$

Margfaldaðu 6 sinnum \frac{5}{4}+\frac{5y}{8}.

$$\frac{15}{4}y+\frac{15}{2}-4y=11$$

Leggðu \frac{15y}{4} saman við -4y.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{15}{2}=11$$

Dragðu \frac{15}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{1}{4}y=\frac{7}{2}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -4.

$$y=-14$$

Skiptu -14 út fyrir y í x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{5}{8}\left(-14\right)+\frac{5}{4}$$

Margfaldaðu \frac{5}{8} sinnum -14.

$$x=\frac{-35+5}{4}$$

Leggðu \frac{5}{4} saman við -\frac{35}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&\frac{8}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{5}{2}\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 10-\frac{5}{2}\times 11\\3\times 10-4\times 11\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{2}\\-14\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

Til að gera 8x og 6x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 8.

$$6\times 8x+6\left(-5\right)y=6\times 10,8\times 6x+8\left(-4\right)y=8\times 11$$

Einfaldaðu.

$$48x-30y=60,48x-32y=88$$

Dragðu 48x-32y=88 frá 48x-30y=60 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$48x-48x-30y+32y=60-88$$

Leggðu 48x saman við -48x. Liðirnir 48x og -48x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-30y+32y=60-88$$

Leggðu -30y saman við 32y.

$$2y=60-88$$

Leggðu 60 saman við -88.

$$2y=-28$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=-14$$

Skiptu -14 út fyrir y í 6x-4y=11. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$6x-4\left(-14\right)=11$$

Margfaldaðu -4 sinnum -14.

$$6x+56=11$$

Dragðu 56 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6x=-45$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$