Leysa {l}{8x+4y=-4}{4x-2y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 4 y = - 4 } \\ { 4 x - 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

$$y = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$8x+4y=-4$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$8x=-4y-4$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-4y-4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{8} sinnum -4y-4.

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$$

Settu \frac{-y-1}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x-2y=8.

$$4\left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)-2y=8$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{-y-1}{2}.

$$-2y-2-2y=8$$

Leggðu -2y saman við -2y.

$$-4y-2=8$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-4y=10$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$y=-\frac{5}{2}$$

Skiptu -\frac{5}{2} út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{5}{2}\right)-\frac{1}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum -\frac{5}{2} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{5}{4}-\frac{1}{2}$$

Leggðu -\frac{1}{2} saman við \frac{5}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{3}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&4\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{8\left(-2\right)-4\times 4}&-\frac{4}{8\left(-2\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{8\left(-2\right)-4\times 4}&\frac{8}{8\left(-2\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}\left(-4\right)+\frac{1}{8}\times 8\\\frac{1}{8}\left(-4\right)-\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$8x+4y=-4,4x-2y=8$$

Til að gera 8x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 8.

$$4\times 8x+4\times 4y=4\left(-4\right),8\times 4x+8\left(-2\right)y=8\times 8$$

Einfaldaðu.

$$32x+16y=-16,32x-16y=64$$

Dragðu 32x-16y=64 frá 32x+16y=-16 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$32x-32x+16y+16y=-16-64$$

Leggðu 32x saman við -32x. Liðirnir 32x og -32x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$16y+16y=-16-64$$

Leggðu 16y saman við 16y.

$$32y=-16-64$$

Leggðu -16 saman við -64.

$$32y=-80$$

Deildu báðum hliðum með 32.

$$y=-\frac{5}{2}$$

Skiptu -\frac{5}{2} út fyrir y í 4x-2y=8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x-2\left(-\frac{5}{2}\right)=8$$

Margfaldaðu -2 sinnum -\frac{5}{2}.

$$4x+5=8$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=3$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{3}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3}{4},y=-\frac{5}{2}$$