Leysa {l}{8x+3y=34}{2x+5y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 3 y = 34 } \\ { 2 x + 5 y = 17 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$8x+3y=34,2x+5y=17$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$8x+3y=34$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$8x=-3y+34$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-3y+34\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{8} sinnum -3y+34.

$$x=-\frac{3}{8}y+\frac{17}{4}$$

Settu -\frac{3y}{8}+\frac{17}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+5y=17.

$$2\left(-\frac{3}{8}y+\frac{17}{4}\right)+5y=17$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{3y}{8}+\frac{17}{4}.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{17}{2}+5y=17$$

Leggðu -\frac{3y}{4} saman við 5y.

$$\frac{17}{4}y+\frac{17}{2}=17$$

Dragðu \frac{17}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{17}{4}y=\frac{17}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{17}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=-\frac{3}{8}y+\frac{17}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{8}\times 2+\frac{17}{4}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{8} sinnum 2.

$$x=\frac{-3+17}{4}$$

Leggðu \frac{17}{4} saman við -\frac{3}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{7}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{7}{2},y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$8x+3y=34,2x+5y=17$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}8&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}34\\17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}8&3\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\17\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\17\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{8\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{8\times 5-3\times 2}&\frac{8}{8\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\17\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{34}&-\frac{3}{34}\\-\frac{1}{17}&\frac{4}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{34}\times 34-\frac{3}{34}\times 17\\-\frac{1}{17}\times 34+\frac{4}{17}\times 17\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{7}{2},y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$8x+3y=34,2x+5y=17$$

Til að gera 8x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 8.

$$2\times 8x+2\times 3y=2\times 34,8\times 2x+8\times 5y=8\times 17$$

Einfaldaðu.

$$16x+6y=68,16x+40y=136$$

Dragðu 16x+40y=136 frá 16x+6y=68 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$16x-16x+6y-40y=68-136$$

Leggðu 16x saman við -16x. Liðirnir 16x og -16x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y-40y=68-136$$

Leggðu 6y saman við -40y.

$$-34y=68-136$$

Leggðu 68 saman við -136.

$$-34y=-68$$

Deildu báðum hliðum með -34.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í 2x+5y=17. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+5\times 2=17$$

Margfaldaðu 5 sinnum 2.

$$2x+10=17$$

Dragðu 10 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=7$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{7}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{7}{2},y=2$$