Leysa {l}{8x+20y=64}{35x-20y=65}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 20 y = 64 } \\ { 35 x - 20 y = 65 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$8x+20y=64,35x-20y=65$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$8x+20y=64$$

Dragðu 20y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$8x=-20y+64$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-20y+64\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{8} sinnum -20y+64.

$$x=-\frac{5}{2}y+8$$

Settu -\frac{5y}{2}+8 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 35x-20y=65.

$$35\left(-\frac{5}{2}y+8\right)-20y=65$$

Margfaldaðu 35 sinnum -\frac{5y}{2}+8.

$$-\frac{175}{2}y+280-20y=65$$

Leggðu -\frac{175y}{2} saman við -20y.

$$-\frac{215}{2}y+280=65$$

Dragðu 280 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{215}{2}y=-215$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{215}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=-\frac{5}{2}y+8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{2}\times 2+8$$

Margfaldaðu -\frac{5}{2} sinnum 2.

$$x=-5+8$$

Leggðu 8 saman við -5.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$8x+20y=64,35x-20y=65$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}8&20\\35&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\65\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}8&20\\35&-20\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\35&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&20\\35&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\35&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\65\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\35&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\65\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&20\\35&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\65\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{8\left(-20\right)-20\times 35}&-\frac{20}{8\left(-20\right)-20\times 35}\\-\frac{35}{8\left(-20\right)-20\times 35}&\frac{8}{8\left(-20\right)-20\times 35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\65\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}&\frac{1}{43}\\\frac{7}{172}&-\frac{2}{215}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\65\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}\times 64+\frac{1}{43}\times 65\\\frac{7}{172}\times 64-\frac{2}{215}\times 65\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$8x+20y=64,35x-20y=65$$

Til að gera 8x og 35x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 35 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 8.

$$35\times 8x+35\times 20y=35\times 64,8\times 35x+8\left(-20\right)y=8\times 65$$

Einfaldaðu.

$$280x+700y=2240,280x-160y=520$$

Dragðu 280x-160y=520 frá 280x+700y=2240 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$280x-280x+700y+160y=2240-520$$

Leggðu 280x saman við -280x. Liðirnir 280x og -280x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$700y+160y=2240-520$$

Leggðu 700y saman við 160y.

$$860y=2240-520$$

Leggðu 2240 saman við -520.

$$860y=1720$$

Deildu báðum hliðum með 860.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í 35x-20y=65. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$35x-20\times 2=65$$

Margfaldaðu -20 sinnum 2.

$$35x-40=65$$

Leggðu 40 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$35x=105$$

Deildu báðum hliðum með 35.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=2$$