Leysa {l}{8x+2y=104}{1x+1y=25}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = 104 } \\ { 1 x + 1 y = 25 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=9$$

$$y=16$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$8x+2y=104,x+y=25$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$8x+2y=104$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$8x=-2y+104$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+104\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{8} sinnum -2y+104.

$$x=-\frac{1}{4}y+13$$

Settu -\frac{y}{4}+13 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+y=25.

$$-\frac{1}{4}y+13+y=25$$

Leggðu -\frac{y}{4} saman við y.

$$\frac{3}{4}y+13=25$$

Dragðu 13 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{3}{4}y=12$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{3}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=16$$

Skiptu 16 út fyrir y í x=-\frac{1}{4}y+13. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{4}\times 16+13$$

Margfaldaðu -\frac{1}{4} sinnum 16.

$$x=-4+13$$

Leggðu 13 saman við -4.

$$x=9$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=9,y=16$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$8x+2y=104,x+y=25$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-2}&-\frac{2}{8-2}\\-\frac{1}{8-2}&\frac{8}{8-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{6}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}104\\25\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 104-\frac{1}{3}\times 25\\-\frac{1}{6}\times 104+\frac{4}{3}\times 25\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=9,y=16$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$8x+2y=104,x+y=25$$

Til að gera 8x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 8.

$$8x+2y=104,8x+8y=8\times 25$$

Einfaldaðu.

$$8x+2y=104,8x+8y=200$$

Dragðu 8x+8y=200 frá 8x+2y=104 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8x-8x+2y-8y=104-200$$

Leggðu 8x saman við -8x. Liðirnir 8x og -8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y-8y=104-200$$

Leggðu 2y saman við -8y.

$$-6y=104-200$$

Leggðu 104 saman við -200.

$$-6y=-96$$

Deildu báðum hliðum með -6.

$$y=16$$

Skiptu 16 út fyrir y í x+y=25. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+16=25$$

Dragðu 16 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=9$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=9,y=16$$