Leysa {l}{8a-b=9}{4a+9b=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 a - b = 9 } \\ { 4 a + 9 b = 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, b

$$a = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

$$b=\frac{5}{19}\approx 0.263157895$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$8a-b=9$$

Leggðu b saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$8a=b+9$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$a=\frac{1}{8}\left(b+9\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{8} sinnum b+9.

$$a=\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}$$

Settu \frac{9+b}{8} inn fyrir a í hinni jöfnunni, 4a+9b=7.

$$4\left(\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}\right)+9b=7$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{9+b}{8}.

$$\frac{1}{2}b+\frac{9}{2}+9b=7$$

Leggðu \frac{b}{2} saman við 9b.

$$\frac{19}{2}b+\frac{9}{2}=7$$

Dragðu \frac{9}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{19}{2}b=\frac{5}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{19}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$b=\frac{5}{19}$$

Skiptu \frac{5}{19} út fyrir b í a=\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=\frac{1}{8}\times \frac{5}{19}+\frac{9}{8}$$

Margfaldaðu \frac{1}{8} sinnum \frac{5}{19} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$a=\frac{5}{152}+\frac{9}{8}$$

Leggðu \frac{9}{8} saman við \frac{5}{152} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$a=\frac{22}{19}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8\times 9-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{8\times 9-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{8\times 9-\left(-4\right)}&\frac{8}{8\times 9-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{76}&\frac{1}{76}\\-\frac{1}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{76}\times 9+\frac{1}{76}\times 7\\-\frac{1}{19}\times 9+\frac{2}{19}\times 7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\\frac{5}{19}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og b.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

Til að gera 8a og 4a jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 8.

$$4\times 8a+4\left(-1\right)b=4\times 9,8\times 4a+8\times 9b=8\times 7$$

Einfaldaðu.

$$32a-4b=36,32a+72b=56$$

Dragðu 32a+72b=56 frá 32a-4b=36 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$32a-32a-4b-72b=36-56$$

Leggðu 32a saman við -32a. Liðirnir 32a og -32a núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4b-72b=36-56$$

Leggðu -4b saman við -72b.

$$-76b=36-56$$

Leggðu 36 saman við -56.

$$-76b=-20$$

Deildu báðum hliðum með -76.

$$b=\frac{5}{19}$$

Skiptu \frac{5}{19} út fyrir b í 4a+9b=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$4a+9\times \frac{5}{19}=7$$

Margfaldaðu 9 sinnum \frac{5}{19}.

$$4a+\frac{45}{19}=7$$

Dragðu \frac{45}{19} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4a=\frac{88}{19}$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$a=\frac{22}{19}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$