Leysa {l}{8+4x=2y}{-4x=14-3y}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 + 4 x = 2 y } \\ { - 4 x = 14 - 3 y } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=6$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$8+4x-2y=0$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$4x-2y=-8$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 3y við báðar hliðar.

$$-4x+3y=14$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$4x-2y=-8$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=2y-8$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-8\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{4} sinnum -8+2y.

$$x=\frac{1}{2}y-2$$

Settu \frac{y}{2}-2 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -4x+3y=14.

$$-4\left(\frac{1}{2}y-2\right)+3y=14$$

Margfaldaðu -4 sinnum \frac{y}{2}-2.

$$-2y+8+3y=14$$

Leggðu -2y saman við 3y.

$$y+8=14$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=6$$

Skiptu 6 út fyrir y í x=\frac{1}{2}y-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{2}\times 6-2$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 6.

$$x=3-2$$

Leggðu -2 saman við 3.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=6$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$8+4x-2y=0$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$4x-2y=-8$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 3y við báðar hliðar.

$$-4x+3y=14$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\times 14\\-8+14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=6$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$8+4x-2y=0$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$4x-2y=-8$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 3y við báðar hliðar.

$$-4x+3y=14$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Til að gera 4x og -4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 4.

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y=-4\left(-8\right),4\left(-4\right)x+4\times 3y=4\times 14$$

Einfaldaðu.

$$-16x+8y=32,-16x+12y=56$$

Dragðu -16x+12y=56 frá -16x+8y=32 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-16x+16x+8y-12y=32-56$$

Leggðu -16x saman við 16x. Liðirnir -16x og 16x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$8y-12y=32-56$$

Leggðu 8y saman við -12y.

$$-4y=32-56$$

Leggðu 32 saman við -56.

$$-4y=-24$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$y=6$$

Skiptu 6 út fyrir y í -4x+3y=14. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-4x+3\times 6=14$$

Margfaldaðu 3 sinnum 6.

$$-4x+18=14$$

Dragðu 18 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4x=-4$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=6$$