Leysa {l}{7x=y-39}{11x=y+9}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x = y - 39 } \\ { 11 x = y + 9 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=12$$

$$y=123$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$7x-y=-39$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$11x-y=9$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$7x-y=-39,11x-y=9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$7x-y=-39$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$7x=y-39$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(y-39\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{7} sinnum y-39.

$$x=\frac{1}{7}y-\frac{39}{7}$$

Settu \frac{-39+y}{7} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 11x-y=9.

$$11\left(\frac{1}{7}y-\frac{39}{7}\right)-y=9$$

Margfaldaðu 11 sinnum \frac{-39+y}{7}.

$$\frac{11}{7}y-\frac{429}{7}-y=9$$

Leggðu \frac{11y}{7} saman við -y.

$$\frac{4}{7}y-\frac{429}{7}=9$$

Leggðu \frac{429}{7} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{4}{7}y=\frac{492}{7}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{4}{7}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=123$$

Skiptu 123 út fyrir y í x=\frac{1}{7}y-\frac{39}{7}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{7}\times 123-\frac{39}{7}$$

Margfaldaðu \frac{1}{7} sinnum 123.

$$x=\frac{123-39}{7}$$

Leggðu -\frac{39}{7} saman við \frac{123}{7} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=12$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=12,y=123$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$7x-y=-39$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$11x-y=9$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$7x-y=-39,11x-y=9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&-\frac{-1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\\-\frac{11}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{11}{4}&\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-39\right)+\frac{1}{4}\times 9\\-\frac{11}{4}\left(-39\right)+\frac{7}{4}\times 9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\123\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=12,y=123$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$7x-y=-39$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$11x-y=9$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$7x-y=-39,11x-y=9$$

Dragðu 11x-y=9 frá 7x-y=-39 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$7x-11x-y+y=-39-9$$

Leggðu -y saman við y. Liðirnir -y og y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$7x-11x=-39-9$$

Leggðu 7x saman við -11x.

$$-4x=-39-9$$

Leggðu -39 saman við -9.

$$-4x=-48$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=12$$

Skiptu 12 út fyrir x í 11x-y=9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$11\times 12-y=9$$

Margfaldaðu 11 sinnum 12.

$$132-y=9$$

Dragðu 132 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-y=-123$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=123$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=12,y=123$$