Leysa {l}{7x=y+39}{11x=y-9}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x = y + 39 } \\ { 11 x = y - 9 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-12$$

$$y=-123$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$7x-y=39$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$11x-y=-9$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$7x-y=39,11x-y=-9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$7x-y=39$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$7x=y+39$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(y+39\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{7} sinnum y+39.

$$x=\frac{1}{7}y+\frac{39}{7}$$

Settu \frac{39+y}{7} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 11x-y=-9.

$$11\left(\frac{1}{7}y+\frac{39}{7}\right)-y=-9$$

Margfaldaðu 11 sinnum \frac{39+y}{7}.

$$\frac{11}{7}y+\frac{429}{7}-y=-9$$

Leggðu \frac{11y}{7} saman við -y.

$$\frac{4}{7}y+\frac{429}{7}=-9$$

Dragðu \frac{429}{7} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{4}{7}y=-\frac{492}{7}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{4}{7}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-123$$

Skiptu -123 út fyrir y í x=\frac{1}{7}y+\frac{39}{7}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{7}\left(-123\right)+\frac{39}{7}$$

Margfaldaðu \frac{1}{7} sinnum -123.

$$x=\frac{-123+39}{7}$$

Leggðu \frac{39}{7} saman við -\frac{123}{7} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-12$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-12,y=-123$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$7x-y=39$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$11x-y=-9$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$7x-y=39,11x-y=-9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&-\frac{-1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\\-\frac{11}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{11}{4}&\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\-9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 39+\frac{1}{4}\left(-9\right)\\-\frac{11}{4}\times 39+\frac{7}{4}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-123\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-12,y=-123$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$7x-y=39$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$11x-y=-9$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$7x-y=39,11x-y=-9$$

Dragðu 11x-y=-9 frá 7x-y=39 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$7x-11x-y+y=39+9$$

Leggðu -y saman við y. Liðirnir -y og y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$7x-11x=39+9$$

Leggðu 7x saman við -11x.

$$-4x=39+9$$

Leggðu 39 saman við 9.

$$-4x=48$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=-12$$

Skiptu -12 út fyrir x í 11x-y=-9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$11\left(-12\right)-y=-9$$

Margfaldaðu 11 sinnum -12.

$$-132-y=-9$$

Leggðu 132 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-y=123$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=-123$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-12,y=-123$$