Leysa {l}{7x+8y=15}{9x+8y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 8 y = 15 } \\ { 9 x + 8 y = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-7$$

$$y=8$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$7x+8y=15$$

Dragðu 8y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7x=-8y+15$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-8y+15\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{7} sinnum -8y+15.

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}$$

Settu \frac{-8y+15}{7} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 9x+8y=1.

$$9\left(-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}\right)+8y=1$$

Margfaldaðu 9 sinnum \frac{-8y+15}{7}.

$$-\frac{72}{7}y+\frac{135}{7}+8y=1$$

Leggðu -\frac{72y}{7} saman við 8y.

$$-\frac{16}{7}y+\frac{135}{7}=1$$

Dragðu \frac{135}{7} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{16}{7}y=-\frac{128}{7}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{16}{7}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=8$$

Skiptu 8 út fyrir y í x=-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{8}{7}\times 8+\frac{15}{7}$$

Margfaldaðu -\frac{8}{7} sinnum 8.

$$x=\frac{-64+15}{7}$$

Leggðu \frac{15}{7} saman við -\frac{64}{7} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-7,y=8$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{7\times 8-8\times 9}&-\frac{8}{7\times 8-8\times 9}\\-\frac{9}{7\times 8-8\times 9}&\frac{7}{7\times 8-8\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{9}{16}&-\frac{7}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 15+\frac{1}{2}\\\frac{9}{16}\times 15-\frac{7}{16}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-7,y=8$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

Dragðu 9x+8y=1 frá 7x+8y=15 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$7x-9x+8y-8y=15-1$$

Leggðu 8y saman við -8y. Liðirnir 8y og -8y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$7x-9x=15-1$$

Leggðu 7x saman við -9x.

$$-2x=15-1$$

Leggðu 15 saman við -1.

$$-2x=14$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=-7$$

Skiptu -7 út fyrir x í 9x+8y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$9\left(-7\right)+8y=1$$

Margfaldaðu 9 sinnum -7.

$$-63+8y=1$$

Leggðu 63 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$8y=64$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$y=8$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-7,y=8$$