Leysa {l}{7x+6y=18}{x=4-y/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 6 y = 18 } \\ { x = 4 - \frac { y } { 2 } } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=6$$

$$y=-4$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu \frac{y}{2} við báðar hliðar.

$$x+\frac{y}{2}=4$$

Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 2.

$$2x+y=8$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$7x+6y=18,2x+y=8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$7x+6y=18$$

Dragðu 6y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7x=-6y+18$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-6y+18\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{7} sinnum -6y+18.

$$x=-\frac{6}{7}y+\frac{18}{7}$$

Settu \frac{-6y+18}{7} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+y=8.

$$2\left(-\frac{6}{7}y+\frac{18}{7}\right)+y=8$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{-6y+18}{7}.

$$-\frac{12}{7}y+\frac{36}{7}+y=8$$

Leggðu -\frac{12y}{7} saman við y.

$$-\frac{5}{7}y+\frac{36}{7}=8$$

Dragðu \frac{36}{7} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{5}{7}y=\frac{20}{7}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{5}{7}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í x=-\frac{6}{7}y+\frac{18}{7}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{6}{7}\left(-4\right)+\frac{18}{7}$$

Margfaldaðu -\frac{6}{7} sinnum -4.

$$x=\frac{24+18}{7}$$

Leggðu \frac{18}{7} saman við \frac{24}{7} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=-4$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu \frac{y}{2} við báðar hliðar.

$$x+\frac{y}{2}=4$$

Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 2.

$$2x+y=8$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$7x+6y=18,2x+y=8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-6\times 2}&-\frac{6}{7-6\times 2}\\-\frac{2}{7-6\times 2}&\frac{7}{7-6\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{6}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 18+\frac{6}{5}\times 8\\\frac{2}{5}\times 18-\frac{7}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=6,y=-4$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu \frac{y}{2} við báðar hliðar.

$$x+\frac{y}{2}=4$$

Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 2.

$$2x+y=8$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$7x+6y=18,2x+y=8$$

Til að gera 7x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 7.

$$2\times 7x+2\times 6y=2\times 18,7\times 2x+7y=7\times 8$$

Einfaldaðu.

$$14x+12y=36,14x+7y=56$$

Dragðu 14x+7y=56 frá 14x+12y=36 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$14x-14x+12y-7y=36-56$$

Leggðu 14x saman við -14x. Liðirnir 14x og -14x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$12y-7y=36-56$$

Leggðu 12y saman við -7y.

$$5y=36-56$$

Leggðu 36 saman við -56.

$$5y=-20$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í 2x+y=8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-4=8$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=12$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=-4$$