Leysa {l}{7x+5y=12}{8x-2y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = 12 } \\ { 8 x - 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{59}{54} = 1\frac{5}{54} \approx 1.092592593$$

$$y=\frac{47}{54}\approx 0.87037037$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$7x+5y=12$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7x=-5y+12$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+12\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{7} sinnum -5y+12.

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}$$

Settu \frac{-5y+12}{7} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 8x-2y=7.

$$8\left(-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}\right)-2y=7$$

Margfaldaðu 8 sinnum \frac{-5y+12}{7}.

$$-\frac{40}{7}y+\frac{96}{7}-2y=7$$

Leggðu -\frac{40y}{7} saman við -2y.

$$-\frac{54}{7}y+\frac{96}{7}=7$$

Dragðu \frac{96}{7} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{54}{7}y=-\frac{47}{7}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{54}{7}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{47}{54}$$

Skiptu \frac{47}{54} út fyrir y í x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{7}\times \frac{47}{54}+\frac{12}{7}$$

Margfaldaðu -\frac{5}{7} sinnum \frac{47}{54} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{235}{378}+\frac{12}{7}$$

Leggðu \frac{12}{7} saman við -\frac{235}{378} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{59}{54}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-5\times 8}&-\frac{5}{7\left(-2\right)-5\times 8}\\-\frac{8}{7\left(-2\right)-5\times 8}&\frac{7}{7\left(-2\right)-5\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}&\frac{5}{54}\\\frac{4}{27}&-\frac{7}{54}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\times 12+\frac{5}{54}\times 7\\\frac{4}{27}\times 12-\frac{7}{54}\times 7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{59}{54}\\\frac{47}{54}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

Til að gera 7x og 8x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 8 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 7.

$$8\times 7x+8\times 5y=8\times 12,7\times 8x+7\left(-2\right)y=7\times 7$$

Einfaldaðu.

$$56x+40y=96,56x-14y=49$$

Dragðu 56x-14y=49 frá 56x+40y=96 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$56x-56x+40y+14y=96-49$$

Leggðu 56x saman við -56x. Liðirnir 56x og -56x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$40y+14y=96-49$$

Leggðu 40y saman við 14y.

$$54y=96-49$$

Leggðu 96 saman við -49.

$$54y=47$$

Deildu báðum hliðum með 54.

$$y=\frac{47}{54}$$

Skiptu \frac{47}{54} út fyrir y í 8x-2y=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$8x-2\times \frac{47}{54}=7$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{47}{54}.

$$8x-\frac{47}{27}=7$$

Leggðu \frac{47}{27} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$8x=\frac{236}{27}$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$x=\frac{59}{54}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$