Leysa {l}{7x+4y=52}{4x-4y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 4 y = 52 } \\ { 4 x - 4 y = - 8 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=4$$

$$y=6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$7x+4y=52$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7x=-4y+52$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-4y+52\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{7} sinnum -4y+52.

$$x=-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7}$$

Settu \frac{-4y+52}{7} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x-4y=-8.

$$4\left(-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7}\right)-4y=-8$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{-4y+52}{7}.

$$-\frac{16}{7}y+\frac{208}{7}-4y=-8$$

Leggðu -\frac{16y}{7} saman við -4y.

$$-\frac{44}{7}y+\frac{208}{7}=-8$$

Dragðu \frac{208}{7} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{44}{7}y=-\frac{264}{7}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{44}{7}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=6$$

Skiptu 6 út fyrir y í x=-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{4}{7}\times 6+\frac{52}{7}$$

Margfaldaðu -\frac{4}{7} sinnum 6.

$$x=\frac{-24+52}{7}$$

Leggðu \frac{52}{7} saman við -\frac{24}{7} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=6$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}&-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}&\frac{7}{7\left(-4\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{7}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 52+\frac{1}{11}\left(-8\right)\\\frac{1}{11}\times 52-\frac{7}{44}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=4,y=6$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

Til að gera 7x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 7.

$$4\times 7x+4\times 4y=4\times 52,7\times 4x+7\left(-4\right)y=7\left(-8\right)$$

Einfaldaðu.

$$28x+16y=208,28x-28y=-56$$

Dragðu 28x-28y=-56 frá 28x+16y=208 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$28x-28x+16y+28y=208+56$$

Leggðu 28x saman við -28x. Liðirnir 28x og -28x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$16y+28y=208+56$$

Leggðu 16y saman við 28y.

$$44y=208+56$$

Leggðu 208 saman við 56.

$$44y=264$$

Deildu báðum hliðum með 44.

$$y=6$$

Skiptu 6 út fyrir y í 4x-4y=-8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x-4\times 6=-8$$

Margfaldaðu -4 sinnum 6.

$$4x-24=-8$$

Leggðu 24 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=16$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=6$$