Leysa {l}{7x+3y=4}{2x+4y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 3 y = 4 } \\ { 2 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{4}{11}\approx -0.363636364$$

$$y = \frac{24}{11} = 2\frac{2}{11} \approx 2.181818182$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$7x+3y=4$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7x=-3y+4$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y+4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{7} sinnum -3y+4.

$$x=-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}$$

Settu \frac{-3y+4}{7} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+4y=8.

$$2\left(-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}\right)+4y=8$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{-3y+4}{7}.

$$-\frac{6}{7}y+\frac{8}{7}+4y=8$$

Leggðu -\frac{6y}{7} saman við 4y.

$$\frac{22}{7}y+\frac{8}{7}=8$$

Dragðu \frac{8}{7} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{22}{7}y=\frac{48}{7}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{22}{7}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{24}{11}$$

Skiptu \frac{24}{11} út fyrir y í x=-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{7}\times \frac{24}{11}+\frac{4}{7}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{7} sinnum \frac{24}{11} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{72}{77}+\frac{4}{7}$$

Leggðu \frac{4}{7} saman við -\frac{72}{77} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-\frac{4}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7\times 4-3\times 2}&-\frac{3}{7\times 4-3\times 2}\\-\frac{2}{7\times 4-3\times 2}&\frac{7}{7\times 4-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{3}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{7}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 4-\frac{3}{22}\times 8\\-\frac{1}{11}\times 4+\frac{7}{22}\times 8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}\\\frac{24}{11}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

Til að gera 7x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 7.

$$2\times 7x+2\times 3y=2\times 4,7\times 2x+7\times 4y=7\times 8$$

Einfaldaðu.

$$14x+6y=8,14x+28y=56$$

Dragðu 14x+28y=56 frá 14x+6y=8 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$14x-14x+6y-28y=8-56$$

Leggðu 14x saman við -14x. Liðirnir 14x og -14x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y-28y=8-56$$

Leggðu 6y saman við -28y.

$$-22y=8-56$$

Leggðu 8 saman við -56.

$$-22y=-48$$

Deildu báðum hliðum með -22.

$$y=\frac{24}{11}$$

Skiptu \frac{24}{11} út fyrir y í 2x+4y=8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+4\times \frac{24}{11}=8$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{24}{11}.

$$2x+\frac{96}{11}=8$$

Dragðu \frac{96}{11} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-\frac{8}{11}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=-\frac{4}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$