Leysa {l}{7x+2y=25}{3x-y=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 2 y = 25 } \\ { 3 x - y = - 6 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=9$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$7x+2y=25,3x-y=-6$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$7x+2y=25$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7x=-2y+25$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y+25\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{7} sinnum -2y+25.

$$x=-\frac{2}{7}y+\frac{25}{7}$$

Settu \frac{-2y+25}{7} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-y=-6.

$$3\left(-\frac{2}{7}y+\frac{25}{7}\right)-y=-6$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{-2y+25}{7}.

$$-\frac{6}{7}y+\frac{75}{7}-y=-6$$

Leggðu -\frac{6y}{7} saman við -y.

$$-\frac{13}{7}y+\frac{75}{7}=-6$$

Dragðu \frac{75}{7} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{13}{7}y=-\frac{117}{7}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{13}{7}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=9$$

Skiptu 9 út fyrir y í x=-\frac{2}{7}y+\frac{25}{7}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{7}\times 9+\frac{25}{7}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{7} sinnum 9.

$$x=\frac{-18+25}{7}$$

Leggðu \frac{25}{7} saman við -\frac{18}{7} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=9$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$7x+2y=25,3x-y=-6$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\-6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}7&2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-2\times 3}&-\frac{2}{7\left(-1\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{7\left(-1\right)-2\times 3}&\frac{7}{7\left(-1\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\-6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{7}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\-6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 25+\frac{2}{13}\left(-6\right)\\\frac{3}{13}\times 25-\frac{7}{13}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=9$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$7x+2y=25,3x-y=-6$$

Til að gera 7x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 7.

$$3\times 7x+3\times 2y=3\times 25,7\times 3x+7\left(-1\right)y=7\left(-6\right)$$

Einfaldaðu.

$$21x+6y=75,21x-7y=-42$$

Dragðu 21x-7y=-42 frá 21x+6y=75 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$21x-21x+6y+7y=75+42$$

Leggðu 21x saman við -21x. Liðirnir 21x og -21x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y+7y=75+42$$

Leggðu 6y saman við 7y.

$$13y=75+42$$

Leggðu 75 saman við 42.

$$13y=117$$

Deildu báðum hliðum með 13.

$$y=9$$

Skiptu 9 út fyrir y í 3x-y=-6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x-9=-6$$

Leggðu 9 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=3$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=9$$