Leysa {l}{7w+2z=16}{5w=2z+8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 w + 2 z = 16 } \\ { 5 w = 2 z + 8 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir w, z

$$z=1$$

$$w=2$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2z frá báðum hliðum.

$$5w-2z=8$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu w með því að einangra w vinstra megin við samasemmerkið.

$$7w+2z=16$$

Dragðu 2z frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7w=-2z+16$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$w=\frac{1}{7}\left(-2z+16\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{7} sinnum -2z+16.

$$w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}$$

Settu \frac{-2z+16}{7} inn fyrir w í hinni jöfnunni, 5w-2z=8.

$$5\left(-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}\right)-2z=8$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{-2z+16}{7}.

$$-\frac{10}{7}z+\frac{80}{7}-2z=8$$

Leggðu -\frac{10z}{7} saman við -2z.

$$-\frac{24}{7}z+\frac{80}{7}=8$$

Dragðu \frac{80}{7} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{24}{7}z=-\frac{24}{7}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{24}{7}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$z=1$$

Skiptu 1 út fyrir z í w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst w strax.

$$w=\frac{-2+16}{7}$$

Leggðu \frac{16}{7} saman við -\frac{2}{7} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$w=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$w=2,z=1$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2z frá báðum hliðum.

$$5w-2z=8$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}&-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{7\left(-2\right)-2\times 5}&\frac{7}{7\left(-2\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{5}{24}&-\frac{7}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 8\\\frac{5}{24}\times 16-\frac{7}{24}\times 8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna w og z.

$$w=2,z=1$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2z frá báðum hliðum.

$$5w-2z=8$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

Til að gera 7w og 5w jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 7.

$$5\times 7w+5\times 2z=5\times 16,7\times 5w+7\left(-2\right)z=7\times 8$$

Einfaldaðu.

$$35w+10z=80,35w-14z=56$$

Dragðu 35w-14z=56 frá 35w+10z=80 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$35w-35w+10z+14z=80-56$$

Leggðu 35w saman við -35w. Liðirnir 35w og -35w núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$10z+14z=80-56$$

Leggðu 10z saman við 14z.

$$24z=80-56$$

Leggðu 80 saman við -56.

$$24z=24$$

Deildu báðum hliðum með 24.

$$z=1$$

Skiptu 1 út fyrir z í 5w-2z=8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst w strax.

$$5w-2=8$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5w=10$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$w=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$w=2,z=1$$