Leysa {l}{62x+y=44}{34x-y=36}

$$\left. \begin{array} { l } { 62 x + y = 44 } \\ { 34 x - y = 36 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7.666666667$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$62x+y=44$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$62x=-y+44$$

Deildu báðum hliðum með 62.

$$x=\frac{1}{62}\left(-y+44\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{62} sinnum -y+44.

$$x=-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}$$

Settu -\frac{y}{62}+\frac{22}{31} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 34x-y=36.

$$34\left(-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}\right)-y=36$$

Margfaldaðu 34 sinnum -\frac{y}{62}+\frac{22}{31}.

$$-\frac{17}{31}y+\frac{748}{31}-y=36$$

Leggðu -\frac{17y}{31} saman við -y.

$$-\frac{48}{31}y+\frac{748}{31}=36$$

Dragðu \frac{748}{31} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{48}{31}y=\frac{368}{31}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{48}{31}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{23}{3}$$

Skiptu -\frac{23}{3} út fyrir y í x=-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{62}\left(-\frac{23}{3}\right)+\frac{22}{31}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{62} sinnum -\frac{23}{3} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{23}{186}+\frac{22}{31}$$

Leggðu \frac{22}{31} saman við \frac{23}{186} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{5}{6}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{62\left(-1\right)-34}&-\frac{1}{62\left(-1\right)-34}\\-\frac{34}{62\left(-1\right)-34}&\frac{62}{62\left(-1\right)-34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{96}&\frac{1}{96}\\\frac{17}{48}&-\frac{31}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{96}\times 44+\frac{1}{96}\times 36\\\frac{17}{48}\times 44-\frac{31}{48}\times 36\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\-\frac{23}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

Til að gera 62x og 34x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 34 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 62.

$$34\times 62x+34y=34\times 44,62\times 34x+62\left(-1\right)y=62\times 36$$

Einfaldaðu.

$$2108x+34y=1496,2108x-62y=2232$$

Dragðu 2108x-62y=2232 frá 2108x+34y=1496 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2108x-2108x+34y+62y=1496-2232$$

Leggðu 2108x saman við -2108x. Liðirnir 2108x og -2108x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$34y+62y=1496-2232$$

Leggðu 34y saman við 62y.

$$96y=1496-2232$$

Leggðu 1496 saman við -2232.

$$96y=-736$$

Deildu báðum hliðum með 96.

$$y=-\frac{23}{3}$$

Skiptu -\frac{23}{3} út fyrir y í 34x-y=36. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$34x-\left(-\frac{23}{3}\right)=36$$

Dragðu \frac{23}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$34x=\frac{85}{3}$$

Deildu báðum hliðum með 34.

$$x=\frac{5}{6}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$