Leysa {l}{60=x+3y}{120=2x-y}

$$\left. \begin{array} { l } { 60 = x + 3 y } \\ { 120 = 2 x - y } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=60$$

$$y=0$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$x+3y=60$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$2x-y=120$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+3y=60,2x-y=120$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+3y=60$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-3y+60$$

Settu -3y+60 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-y=120.

$$2\left(-3y+60\right)-y=120$$

Margfaldaðu 2 sinnum -3y+60.

$$-6y+120-y=120$$

Leggðu -6y saman við -y.

$$-7y+120=120$$

Dragðu 120 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-7y=0$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í x=-3y+60. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=60$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=60,y=0$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$x+3y=60$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$2x-y=120$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+3y=60,2x-y=120$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\120\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&3\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\120\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\120\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\120\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-3\times 2}&-\frac{3}{-1-3\times 2}\\-\frac{2}{-1-3\times 2}&\frac{1}{-1-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\120\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\120\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 60+\frac{3}{7}\times 120\\\frac{2}{7}\times 60-\frac{1}{7}\times 120\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\0\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=60,y=0$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$x+3y=60$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$2x-y=120$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+3y=60,2x-y=120$$

Til að gera x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$2x+2\times 3y=2\times 60,2x-y=120$$

Einfaldaðu.

$$2x+6y=120,2x-y=120$$

Dragðu 2x-y=120 frá 2x+6y=120 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+6y+y=120-120$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y+y=120-120$$

Leggðu 6y saman við y.

$$7y=120-120$$

Leggðu 120 saman við -120.

$$7y=0$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í 2x-y=120. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x=120$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=60$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=60,y=0$$