Leysa {l}{6.5x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 6.5 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{112}{3} = 37\frac{1}{3} \approx 37.333333333$$

$$y = -\frac{701}{3} = -233\frac{2}{3} \approx -233.666666667$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$6.5x+y=9$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6.5x=-y+9$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 6.5. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=\frac{2}{13}\left(-y+9\right)$$

Margfaldaðu \frac{2}{13} sinnum -y+9.

$$x=-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13}$$

Settu \frac{-2y+18}{13} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 1.6x+0.2y=13.

$$1.6\left(-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13}\right)+0.2y=13$$

Margfaldaðu 1.6 sinnum \frac{-2y+18}{13}.

$$-\frac{16}{65}y+\frac{144}{65}+0.2y=13$$

Leggðu -\frac{16y}{65} saman við \frac{y}{5}.

$$-\frac{3}{65}y+\frac{144}{65}=13$$

Dragðu \frac{144}{65} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{3}{65}y=\frac{701}{65}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{3}{65}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{701}{3}$$

Skiptu -\frac{701}{3} út fyrir y í x=-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{13}\left(-\frac{701}{3}\right)+\frac{18}{13}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{13} sinnum -\frac{701}{3} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{1402}{39}+\frac{18}{13}$$

Leggðu \frac{18}{13} saman við \frac{1402}{39} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{112}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{6.5\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{6.5\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{6.5\times 0.2-1.6}&\frac{6.5}{6.5\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{10}{3}\\\frac{16}{3}&-\frac{65}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 9+\frac{10}{3}\times 13\\\frac{16}{3}\times 9-\frac{65}{3}\times 13\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{112}{3}\\-\frac{701}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Til að gera \frac{13x}{2} og \frac{8x}{5} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1.6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 6.5.

$$1.6\times 6.5x+1.6y=1.6\times 9,6.5\times 1.6x+6.5\times 0.2y=6.5\times 13$$

Einfaldaðu.

$$10.4x+1.6y=14.4,10.4x+1.3y=84.5$$

Dragðu 10.4x+1.3y=84.5 frá 10.4x+1.6y=14.4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10.4x-10.4x+1.6y-1.3y=14.4-84.5$$

Leggðu \frac{52x}{5} saman við -\frac{52x}{5}. Liðirnir \frac{52x}{5} og -\frac{52x}{5} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$1.6y-1.3y=14.4-84.5$$

Leggðu \frac{8y}{5} saman við -\frac{13y}{10}.

$$0.3y=14.4-84.5$$

Leggðu 14.4 saman við -84.5 með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$0.3y=-70.1$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 0.3. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{701}{3}$$

Skiptu -\frac{701}{3} út fyrir y í 1.6x+0.2y=13. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$1.6x+0.2\left(-\frac{701}{3}\right)=13$$

Margfaldaðu 0.2 sinnum -\frac{701}{3} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$1.6x-\frac{701}{15}=13$$

Leggðu \frac{701}{15} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$1.6x=\frac{896}{15}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 1.6. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=\frac{112}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$