Leysa {l}{6y+4x=27}{x+y=50}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 y + 4 x = 27 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x = \frac{273}{2} = 136\frac{1}{2} = 136.5$$

$$y = -\frac{173}{2} = -86\frac{1}{2} = -86.5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$6y+4x=27$$

Dragðu 4x frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6y=-4x+27$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$y=\frac{1}{6}\left(-4x+27\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{6} sinnum -4x+27.

$$y=-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}$$

Settu -\frac{2x}{3}+\frac{9}{2} inn fyrir y í hinni jöfnunni, y+x=50.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}+x=50$$

Leggðu -\frac{2x}{3} saman við x.

$$\frac{1}{3}x+\frac{9}{2}=50$$

Dragðu \frac{9}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{3}x=\frac{91}{2}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 3.

$$x=\frac{273}{2}$$

Skiptu \frac{273}{2} út fyrir x í y=-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=-\frac{2}{3}\times \frac{273}{2}+\frac{9}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{3} sinnum \frac{273}{2} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$y=-91+\frac{9}{2}$$

Leggðu \frac{9}{2} saman við -91.

$$y=-\frac{173}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-4}&-\frac{4}{6-4}\\-\frac{1}{6-4}&\frac{6}{6-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-2\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 27-2\times 50\\-\frac{1}{2}\times 27+3\times 50\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{173}{2}\\\frac{273}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

Til að gera 6y og y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 6.

$$6y+4x=27,6y+6x=6\times 50$$

Einfaldaðu.

$$6y+4x=27,6y+6x=300$$

Dragðu 6y+6x=300 frá 6y+4x=27 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6y-6y+4x-6x=27-300$$

Leggðu 6y saman við -6y. Liðirnir 6y og -6y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$4x-6x=27-300$$

Leggðu 4x saman við -6x.

$$-2x=27-300$$

Leggðu 27 saman við -300.

$$-2x=-273$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=\frac{273}{2}$$

Skiptu \frac{273}{2} út fyrir x í y+x=50. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y+\frac{273}{2}=50$$

Dragðu \frac{273}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-\frac{173}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$