Leysa {l}{6x+5y=27}{2x+y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 27 } \\ { 2 x + y = 13 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{19}{2} = 9\frac{1}{2} = 9.5$$

$$y=-6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$6x+5y=27$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6x=-5y+27$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+27\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{6} sinnum -5y+27.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2}$$

Settu -\frac{5y}{6}+\frac{9}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+y=13.

$$2\left(-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2}\right)+y=13$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{5y}{6}+\frac{9}{2}.

$$-\frac{5}{3}y+9+y=13$$

Leggðu -\frac{5y}{3} saman við y.

$$-\frac{2}{3}y+9=13$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{2}{3}y=4$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{2}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-6$$

Skiptu -6 út fyrir y í x=-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{6}\left(-6\right)+\frac{9}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{5}{6} sinnum -6.

$$x=5+\frac{9}{2}$$

Leggðu \frac{9}{2} saman við 5.

$$x=\frac{19}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-5\times 2}&-\frac{5}{6-5\times 2}\\-\frac{2}{6-5\times 2}&\frac{6}{6-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{5}{4}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 27+\frac{5}{4}\times 13\\\frac{1}{2}\times 27-\frac{3}{2}\times 13\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{2}\\-6\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

Til að gera 6x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 6.

$$2\times 6x+2\times 5y=2\times 27,6\times 2x+6y=6\times 13$$

Einfaldaðu.

$$12x+10y=54,12x+6y=78$$

Dragðu 12x+6y=78 frá 12x+10y=54 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x+10y-6y=54-78$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$10y-6y=54-78$$

Leggðu 10y saman við -6y.

$$4y=54-78$$

Leggðu 54 saman við -78.

$$4y=-24$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$y=-6$$

Skiptu -6 út fyrir y í 2x+y=13. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-6=13$$

Leggðu 6 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=19$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{19}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$