Leysa {l}{6x+3y=25.95}{4x+6y=26.70}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 3 y = 25.95 } \\ { 4 x + 6 y = 26.70 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3.15$$

$$y=2.35$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$6x+3y=25.95$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6x=-3y+25.95$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+25.95\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{6} sinnum -3y+25.95.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}$$

Settu -\frac{y}{2}+\frac{173}{40} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+6y=26.7.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}\right)+6y=26.7$$

Margfaldaðu 4 sinnum -\frac{y}{2}+\frac{173}{40}.

$$-2y+\frac{173}{10}+6y=26.7$$

Leggðu -2y saman við 6y.

$$4y+\frac{173}{10}=26.7$$

Dragðu \frac{173}{10} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4y=\frac{47}{5}$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$y=\frac{47}{20}$$

Skiptu \frac{47}{20} út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{47}{20}+\frac{173}{40}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum \frac{47}{20} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{-47+173}{40}$$

Leggðu \frac{173}{40} saman við -\frac{47}{40} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{63}{20}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-3\times 4}&-\frac{3}{6\times 6-3\times 4}\\-\frac{4}{6\times 6-3\times 4}&\frac{6}{6\times 6-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 25.95-\frac{1}{8}\times 26.7\\-\frac{1}{6}\times 25.95+\frac{1}{4}\times 26.7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{20}\\\frac{47}{20}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

Til að gera 6x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 6.

$$4\times 6x+4\times 3y=4\times 25.95,6\times 4x+6\times 6y=6\times 26.7$$

Einfaldaðu.

$$24x+12y=103.8,24x+36y=160.2$$

Dragðu 24x+36y=160.2 frá 24x+12y=103.8 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$24x-24x+12y-36y=\frac{519-801}{5}$$

Leggðu 24x saman við -24x. Liðirnir 24x og -24x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$12y-36y=\frac{519-801}{5}$$

Leggðu 12y saman við -36y.

$$-24y=\frac{519-801}{5}$$

Leggðu 103.8 saman við -160.2 með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$-24y=-56.4$$

Deildu báðum hliðum með -24.

$$y=\frac{47}{20}$$

Skiptu \frac{47}{20} út fyrir y í 4x+6y=26.7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+6\times \frac{47}{20}=26.7$$

Margfaldaðu 6 sinnum \frac{47}{20}.

$$4x+\frac{141}{10}=26.7$$

Dragðu \frac{141}{10} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=\frac{63}{5}$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{63}{20}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$