Leysa {l}{6x+3y=24}{7x+6y=33}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 3 y = 24 } \\ { 7 x + 6 y = 33 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$6x+3y=24,7x+6y=33$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$6x+3y=24$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6x=-3y+24$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+24\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{6} sinnum -3y+24.

$$x=-\frac{1}{2}y+4$$

Settu -\frac{y}{2}+4 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 7x+6y=33.

$$7\left(-\frac{1}{2}y+4\right)+6y=33$$

Margfaldaðu 7 sinnum -\frac{y}{2}+4.

$$-\frac{7}{2}y+28+6y=33$$

Leggðu -\frac{7y}{2} saman við 6y.

$$\frac{5}{2}y+28=33$$

Dragðu 28 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{5}{2}y=5$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y+4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum 2.

$$x=-1+4$$

Leggðu 4 saman við -1.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$6x+3y=24,7x+6y=33$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-3\times 7}&-\frac{3}{6\times 6-3\times 7}\\-\frac{7}{6\times 6-3\times 7}&\frac{6}{6\times 6-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{15}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 24-\frac{1}{5}\times 33\\-\frac{7}{15}\times 24+\frac{2}{5}\times 33\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$6x+3y=24,7x+6y=33$$

Til að gera 6x og 7x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 6.

$$7\times 6x+7\times 3y=7\times 24,6\times 7x+6\times 6y=6\times 33$$

Einfaldaðu.

$$42x+21y=168,42x+36y=198$$

Dragðu 42x+36y=198 frá 42x+21y=168 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$42x-42x+21y-36y=168-198$$

Leggðu 42x saman við -42x. Liðirnir 42x og -42x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$21y-36y=168-198$$

Leggðu 21y saman við -36y.

$$-15y=168-198$$

Leggðu 168 saman við -198.

$$-15y=-30$$

Deildu báðum hliðum með -15.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í 7x+6y=33. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$7x+6\times 2=33$$

Margfaldaðu 6 sinnum 2.

$$7x+12=33$$

Dragðu 12 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7x=21$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=2$$