Leysa {l}{6x+2y=-6}{3x-y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 2 y = - 6 } \\ { 3 x - y = 9 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=-6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$6x+2y=-6,3x-y=9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$6x+2y=-6$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6x=-2y-6$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y-6\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{6} sinnum -2y-6.

$$x=-\frac{1}{3}y-1$$

Settu -\frac{y}{3}-1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-y=9.

$$3\left(-\frac{1}{3}y-1\right)-y=9$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{y}{3}-1.

$$-y-3-y=9$$

Leggðu -y saman við -y.

$$-2y-3=9$$

Leggðu 3 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-2y=12$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=-6$$

Skiptu -6 út fyrir y í x=-\frac{1}{3}y-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-6\right)-1$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum -6.

$$x=2-1$$

Leggðu -1 saman við 2.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=-6$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$6x+2y=-6,3x-y=9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6\left(-1\right)-2\times 3}&-\frac{2}{6\left(-1\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{6\left(-1\right)-2\times 3}&\frac{6}{6\left(-1\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\left(-6\right)+\frac{1}{6}\times 9\\\frac{1}{4}\left(-6\right)-\frac{1}{2}\times 9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-6\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=-6$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$6x+2y=-6,3x-y=9$$

Til að gera 6x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 6.

$$3\times 6x+3\times 2y=3\left(-6\right),6\times 3x+6\left(-1\right)y=6\times 9$$

Einfaldaðu.

$$18x+6y=-18,18x-6y=54$$

Dragðu 18x-6y=54 frá 18x+6y=-18 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$18x-18x+6y+6y=-18-54$$

Leggðu 18x saman við -18x. Liðirnir 18x og -18x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y+6y=-18-54$$

Leggðu 6y saman við 6y.

$$12y=-18-54$$

Leggðu -18 saman við -54.

$$12y=-72$$

Deildu báðum hliðum með 12.

$$y=-6$$

Skiptu -6 út fyrir y í 3x-y=9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x-\left(-6\right)=9$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=3$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=-6$$