Leysa {l}{580x=y}{200y+x=100}

$$\left. \begin{array} { l } { 580 x = y } \\ { 200 y + x = 100 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{100}{116001}\approx 0.000862062$$

$$y=\frac{58000}{116001}\approx 0.49999569$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$580x-y=0$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$580x-y=0,x+200y=100$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$580x-y=0$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$580x=y$$

Deildu báðum hliðum með 580.

$$x=\frac{1}{580}y$$

Settu \frac{y}{580} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+200y=100.

$$\frac{1}{580}y+200y=100$$

Leggðu \frac{y}{580} saman við 200y.

$$\frac{116001}{580}y=100$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{116001}{580}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{58000}{116001}$$

Skiptu \frac{58000}{116001} út fyrir y í x=\frac{1}{580}y. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{580}\times \frac{58000}{116001}$$

Margfaldaðu \frac{1}{580} sinnum \frac{58000}{116001} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{100}{116001}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{100}{116001},y=\frac{58000}{116001}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$580x-y=0$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$580x-y=0,x+200y=100$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}580&-1\\1&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\100\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}580&-1\\1&200\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}580&-1\\1&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}580&-1\\1&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}580&-1\\1&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\100\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}580&-1\\1&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\100\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}580&-1\\1&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\100\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{580\times 200-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{580\times 200-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{580\times 200-\left(-1\right)}&\frac{580}{580\times 200-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\100\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{116001}&\frac{1}{116001}\\-\frac{1}{116001}&\frac{580}{116001}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\100\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{116001}\times 100\\\frac{580}{116001}\times 100\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{116001}\\\frac{58000}{116001}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{100}{116001},y=\frac{58000}{116001}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$580x-y=0$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$580x-y=0,x+200y=100$$

Til að gera 580x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 580.

$$580x-y=0,580x+580\times 200y=580\times 100$$

Einfaldaðu.

$$580x-y=0,580x+116000y=58000$$

Dragðu 580x+116000y=58000 frá 580x-y=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$580x-580x-y-116000y=-58000$$

Leggðu 580x saman við -580x. Liðirnir 580x og -580x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-y-116000y=-58000$$

Leggðu -y saman við -116000y.

$$-116001y=-58000$$

Deildu báðum hliðum með -116001.

$$y=\frac{58000}{116001}$$

Skiptu \frac{58000}{116001} út fyrir y í x+200y=100. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+200\times \frac{58000}{116001}=100$$

Margfaldaðu 200 sinnum \frac{58000}{116001}.

$$x+\frac{11600000}{116001}=100$$

Dragðu \frac{11600000}{116001} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=\frac{100}{116001}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{100}{116001},y=\frac{58000}{116001}$$