Leysa {l}{50x+3y=1}{2x-4y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 50 x + 3 y = 1 } \\ { 2 x - 4 y = 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{19}{206}\approx 0.09223301$$

$$y = -\frac{124}{103} = -1\frac{21}{103} \approx -1.203883495$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$50x+3y=1$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$50x=-3y+1$$

Deildu báðum hliðum með 50.

$$x=\frac{1}{50}\left(-3y+1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{50} sinnum -3y+1.

$$x=-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50}$$

Settu \frac{-3y+1}{50} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-4y=5.

$$2\left(-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50}\right)-4y=5$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{-3y+1}{50}.

$$-\frac{3}{25}y+\frac{1}{25}-4y=5$$

Leggðu -\frac{3y}{25} saman við -4y.

$$-\frac{103}{25}y+\frac{1}{25}=5$$

Dragðu \frac{1}{25} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{103}{25}y=\frac{124}{25}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{103}{25}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{124}{103}$$

Skiptu -\frac{124}{103} út fyrir y í x=-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{50}\left(-\frac{124}{103}\right)+\frac{1}{50}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{50} sinnum -\frac{124}{103} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{186}{2575}+\frac{1}{50}$$

Leggðu \frac{1}{50} saman við \frac{186}{2575} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{19}{206}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{50\left(-4\right)-3\times 2}&-\frac{3}{50\left(-4\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{50\left(-4\right)-3\times 2}&\frac{50}{50\left(-4\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{103}&\frac{3}{206}\\\frac{1}{103}&-\frac{25}{103}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{103}+\frac{3}{206}\times 5\\\frac{1}{103}-\frac{25}{103}\times 5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{206}\\-\frac{124}{103}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

Til að gera 50x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 50.

$$2\times 50x+2\times 3y=2,50\times 2x+50\left(-4\right)y=50\times 5$$

Einfaldaðu.

$$100x+6y=2,100x-200y=250$$

Dragðu 100x-200y=250 frá 100x+6y=2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$100x-100x+6y+200y=2-250$$

Leggðu 100x saman við -100x. Liðirnir 100x og -100x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y+200y=2-250$$

Leggðu 6y saman við 200y.

$$206y=2-250$$

Leggðu 2 saman við -250.

$$206y=-248$$

Deildu báðum hliðum með 206.

$$y=-\frac{124}{103}$$

Skiptu -\frac{124}{103} út fyrir y í 2x-4y=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-4\left(-\frac{124}{103}\right)=5$$

Margfaldaðu -4 sinnum -\frac{124}{103}.

$$2x+\frac{496}{103}=5$$

Dragðu \frac{496}{103} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=\frac{19}{103}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{19}{206}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$