Leysa {l}{5y+8x=-18}{5y+2x=58}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 y + 8 x = - 18 } \\ { 5 y + 2 x = 58 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x = -\frac{38}{3} = -12\frac{2}{3} \approx -12.666666667$$

$$y = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3} \approx 16.666666667$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$5y+8x=-18$$

Dragðu 8x frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5y=-8x-18$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=\frac{1}{5}\left(-8x-18\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -8x-18.

$$y=-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5}$$

Settu \frac{-8x-18}{5} inn fyrir y í hinni jöfnunni, 5y+2x=58.

$$5\left(-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5}\right)+2x=58$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{-8x-18}{5}.

$$-8x-18+2x=58$$

Leggðu -8x saman við 2x.

$$-6x-18=58$$

Leggðu 18 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-6x=76$$

Deildu báðum hliðum með -6.

$$x=-\frac{38}{3}$$

Skiptu -\frac{38}{3} út fyrir x í y=-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=-\frac{8}{5}\left(-\frac{38}{3}\right)-\frac{18}{5}$$

Margfaldaðu -\frac{8}{5} sinnum -\frac{38}{3} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$y=\frac{304}{15}-\frac{18}{5}$$

Leggðu -\frac{18}{5} saman við \frac{304}{15} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$y=\frac{50}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-8\times 5}&-\frac{8}{5\times 2-8\times 5}\\-\frac{5}{5\times 2-8\times 5}&\frac{5}{5\times 2-8\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-18\right)+\frac{4}{15}\times 58\\\frac{1}{6}\left(-18\right)-\frac{1}{6}\times 58\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{3}\\-\frac{38}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Dragðu 5y+2x=58 frá 5y+8x=-18 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$5y-5y+8x-2x=-18-58$$

Leggðu 5y saman við -5y. Liðirnir 5y og -5y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$8x-2x=-18-58$$

Leggðu 8x saman við -2x.

$$6x=-18-58$$

Leggðu -18 saman við -58.

$$6x=-76$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=-\frac{38}{3}$$

Skiptu -\frac{38}{3} út fyrir x í 5y+2x=58. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$5y+2\left(-\frac{38}{3}\right)=58$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{38}{3}.

$$5y-\frac{76}{3}=58$$

Leggðu \frac{76}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5y=\frac{250}{3}$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=\frac{50}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$