Leysa {l}{5x-y=13}{2x+3y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - y = 13 } \\ { 2 x + 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-y=13,2x+3y=12$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-y=13$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=y+13$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+13\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum y+13.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{13}{5}$$

Settu \frac{13+y}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+3y=12.

$$2\left(\frac{1}{5}y+\frac{13}{5}\right)+3y=12$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{13+y}{5}.

$$\frac{2}{5}y+\frac{26}{5}+3y=12$$

Leggðu \frac{2y}{5} saman við 3y.

$$\frac{17}{5}y+\frac{26}{5}=12$$

Dragðu \frac{26}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{17}{5}y=\frac{34}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{17}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=\frac{1}{5}y+\frac{13}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{5}\times 2+\frac{13}{5}$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 2.

$$x=\frac{2+13}{5}$$

Leggðu \frac{13}{5} saman við \frac{2}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-y=13,2x+3y=12$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\12\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\12\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{5\times 3-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{1}{17}\\-\frac{2}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\times 13+\frac{1}{17}\times 12\\-\frac{2}{17}\times 13+\frac{5}{17}\times 12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-y=13,2x+3y=12$$

Til að gera 5x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$2\times 5x+2\left(-1\right)y=2\times 13,5\times 2x+5\times 3y=5\times 12$$

Einfaldaðu.

$$10x-2y=26,10x+15y=60$$

Dragðu 10x+15y=60 frá 10x-2y=26 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-10x-2y-15y=26-60$$

Leggðu 10x saman við -10x. Liðirnir 10x og -10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-2y-15y=26-60$$

Leggðu -2y saman við -15y.

$$-17y=26-60$$

Leggðu 26 saman við -60.

$$-17y=-34$$

Deildu báðum hliðum með -17.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í 2x+3y=12. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+3\times 2=12$$

Margfaldaðu 3 sinnum 2.

$$2x+6=12$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=6$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=2$$