Leysa {l}{5x-8y=9}{2x+y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 8 y = 9 } \\ { 2 x + y = 12 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=5$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-8y=9,2x+y=12$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-8y=9$$

Leggðu 8y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=8y+9$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(8y+9\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 8y+9.

$$x=\frac{8}{5}y+\frac{9}{5}$$

Settu \frac{8y+9}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+y=12.

$$2\left(\frac{8}{5}y+\frac{9}{5}\right)+y=12$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{8y+9}{5}.

$$\frac{16}{5}y+\frac{18}{5}+y=12$$

Leggðu \frac{16y}{5} saman við y.

$$\frac{21}{5}y+\frac{18}{5}=12$$

Dragðu \frac{18}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{21}{5}y=\frac{42}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{21}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=\frac{8}{5}y+\frac{9}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{8}{5}\times 2+\frac{9}{5}$$

Margfaldaðu \frac{8}{5} sinnum 2.

$$x=\frac{16+9}{5}$$

Leggðu \frac{9}{5} saman við \frac{16}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-8y=9,2x+y=12$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-8\times 2\right)}&-\frac{-8}{5-\left(-8\times 2\right)}\\-\frac{2}{5-\left(-8\times 2\right)}&\frac{5}{5-\left(-8\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{21}&\frac{8}{21}\\-\frac{2}{21}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{21}\times 9+\frac{8}{21}\times 12\\-\frac{2}{21}\times 9+\frac{5}{21}\times 12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=5,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-8y=9,2x+y=12$$

Til að gera 5x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$2\times 5x+2\left(-8\right)y=2\times 9,5\times 2x+5y=5\times 12$$

Einfaldaðu.

$$10x-16y=18,10x+5y=60$$

Dragðu 10x+5y=60 frá 10x-16y=18 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-10x-16y-5y=18-60$$

Leggðu 10x saman við -10x. Liðirnir 10x og -10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-16y-5y=18-60$$

Leggðu -16y saman við -5y.

$$-21y=18-60$$

Leggðu 18 saman við -60.

$$-21y=-42$$

Deildu báðum hliðum með -21.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í 2x+y=12. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+2=12$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=10$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=2$$