Leysa {l}{5x-8=y}{3x+2y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 8 = y } \\ { 3 x + 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{18}{13} = 1\frac{5}{13} \approx 1.384615385$$

$$y = -\frac{14}{13} = -1\frac{1}{13} \approx -1.076923077$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$5x-8-y=0$$

Bættu 8 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$5x-y=8$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-y=8,3x+2y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-y=8$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=y+8$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+8\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum y+8.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}$$

Settu \frac{8+y}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+2y=2.

$$3\left(\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}\right)+2y=2$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{8+y}{5}.

$$\frac{3}{5}y+\frac{24}{5}+2y=2$$

Leggðu \frac{3y}{5} saman við 2y.

$$\frac{13}{5}y+\frac{24}{5}=2$$

Dragðu \frac{24}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{13}{5}y=-\frac{14}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{13}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{14}{13}$$

Skiptu -\frac{14}{13} út fyrir y í x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{5}\left(-\frac{14}{13}\right)+\frac{8}{5}$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -\frac{14}{13} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{14}{65}+\frac{8}{5}$$

Leggðu \frac{8}{5} saman við -\frac{14}{65} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{18}{13}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{18}{13},y=-\frac{14}{13}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$5x-8-y=0$$

Bættu 8 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$5x-y=8$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-y=8,3x+2y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{5\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 8+\frac{1}{13}\times 2\\-\frac{3}{13}\times 8+\frac{5}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}\\-\frac{14}{13}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{18}{13},y=-\frac{14}{13}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$5x-8-y=0$$

Bættu 8 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$5x-y=8$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-y=8,3x+2y=2$$

Til að gera 5x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 8,5\times 3x+5\times 2y=5\times 2$$

Einfaldaðu.

$$15x-3y=24,15x+10y=10$$

Dragðu 15x+10y=10 frá 15x-3y=24 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$15x-15x-3y-10y=24-10$$

Leggðu 15x saman við -15x. Liðirnir 15x og -15x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-3y-10y=24-10$$

Leggðu -3y saman við -10y.

$$-13y=24-10$$

Leggðu 24 saman við -10.

$$-13y=14$$

Deildu báðum hliðum með -13.

$$y=-\frac{14}{13}$$

Skiptu -\frac{14}{13} út fyrir y í 3x+2y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+2\left(-\frac{14}{13}\right)=2$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{14}{13}.

$$3x-\frac{28}{13}=2$$

Leggðu \frac{28}{13} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=\frac{54}{13}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{18}{13}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{18}{13},y=-\frac{14}{13}$$