Leysa {l}{5x-7y=-27}{2x+3y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 7 y = - 27 } \\ { 2 x + 3 y = 24 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-7y=-27,2x+3y=24$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-7y=-27$$

Leggðu 7y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=7y-27$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(7y-27\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 7y-27.

$$x=\frac{7}{5}y-\frac{27}{5}$$

Settu \frac{7y-27}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+3y=24.

$$2\left(\frac{7}{5}y-\frac{27}{5}\right)+3y=24$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{7y-27}{5}.

$$\frac{14}{5}y-\frac{54}{5}+3y=24$$

Leggðu \frac{14y}{5} saman við 3y.

$$\frac{29}{5}y-\frac{54}{5}=24$$

Leggðu \frac{54}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{29}{5}y=\frac{174}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{29}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=6$$

Skiptu 6 út fyrir y í x=\frac{7}{5}y-\frac{27}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{7}{5}\times 6-\frac{27}{5}$$

Margfaldaðu \frac{7}{5} sinnum 6.

$$x=\frac{42-27}{5}$$

Leggðu -\frac{27}{5} saman við \frac{42}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=6$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-7y=-27,2x+3y=24$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}&\frac{7}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}\left(-27\right)+\frac{7}{29}\times 24\\-\frac{2}{29}\left(-27\right)+\frac{5}{29}\times 24\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=6$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-7y=-27,2x+3y=24$$

Til að gera 5x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$2\times 5x+2\left(-7\right)y=2\left(-27\right),5\times 2x+5\times 3y=5\times 24$$

Einfaldaðu.

$$10x-14y=-54,10x+15y=120$$

Dragðu 10x+15y=120 frá 10x-14y=-54 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-10x-14y-15y=-54-120$$

Leggðu 10x saman við -10x. Liðirnir 10x og -10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-14y-15y=-54-120$$

Leggðu -14y saman við -15y.

$$-29y=-54-120$$

Leggðu -54 saman við -120.

$$-29y=-174$$

Deildu báðum hliðum með -29.

$$y=6$$

Skiptu 6 út fyrir y í 2x+3y=24. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+3\times 6=24$$

Margfaldaðu 3 sinnum 6.

$$2x+18=24$$

Dragðu 18 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=6$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=6$$