Leysa {l}{5x-6y=4}{3x+7y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = 4 } \\ { 3 x + 7 y = 8 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{76}{53} = 1\frac{23}{53} \approx 1.433962264$$

$$y=\frac{28}{53}\approx 0.528301887$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-6y=4,3x+7y=8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-6y=4$$

Leggðu 6y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=6y+4$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y+4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 6y+4.

$$x=\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}$$

Settu \frac{6y+4}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+7y=8.

$$3\left(\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}\right)+7y=8$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{6y+4}{5}.

$$\frac{18}{5}y+\frac{12}{5}+7y=8$$

Leggðu \frac{18y}{5} saman við 7y.

$$\frac{53}{5}y+\frac{12}{5}=8$$

Dragðu \frac{12}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{53}{5}y=\frac{28}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{53}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{28}{53}$$

Skiptu \frac{28}{53} út fyrir y í x=\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{6}{5}\times \frac{28}{53}+\frac{4}{5}$$

Margfaldaðu \frac{6}{5} sinnum \frac{28}{53} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{168}{265}+\frac{4}{5}$$

Leggðu \frac{4}{5} saman við \frac{168}{265} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{76}{53}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{76}{53},y=\frac{28}{53}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-6y=4,3x+7y=8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{-6}{5\times 7-\left(-6\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 7-\left(-6\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{53}&\frac{6}{53}\\-\frac{3}{53}&\frac{5}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{53}\times 4+\frac{6}{53}\times 8\\-\frac{3}{53}\times 4+\frac{5}{53}\times 8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{76}{53}\\\frac{28}{53}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{76}{53},y=\frac{28}{53}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-6y=4,3x+7y=8$$

Til að gera 5x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$3\times 5x+3\left(-6\right)y=3\times 4,5\times 3x+5\times 7y=5\times 8$$

Einfaldaðu.

$$15x-18y=12,15x+35y=40$$

Dragðu 15x+35y=40 frá 15x-18y=12 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$15x-15x-18y-35y=12-40$$

Leggðu 15x saman við -15x. Liðirnir 15x og -15x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-18y-35y=12-40$$

Leggðu -18y saman við -35y.

$$-53y=12-40$$

Leggðu 12 saman við -40.

$$-53y=-28$$

Deildu báðum hliðum með -53.

$$y=\frac{28}{53}$$

Skiptu \frac{28}{53} út fyrir y í 3x+7y=8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+7\times \frac{28}{53}=8$$

Margfaldaðu 7 sinnum \frac{28}{53}.

$$3x+\frac{196}{53}=8$$

Dragðu \frac{196}{53} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=\frac{228}{53}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{76}{53}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{76}{53},y=\frac{28}{53}$$