Leysa {l}{5x-5y=-5}{2x+2y=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 5 y = - 5 } \\ { 2 x + 2 y = - 10 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-3$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-5y=-5,2x+2y=-10$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-5y=-5$$

Leggðu 5y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=5y-5$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(5y-5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -5+5y.

$$x=y-1$$

Settu y-1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+2y=-10.

$$2\left(y-1\right)+2y=-10$$

Margfaldaðu 2 sinnum y-1.

$$2y-2+2y=-10$$

Leggðu 2y saman við 2y.

$$4y-2=-10$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4y=-8$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=y-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2-1$$

Leggðu -1 saman við -2.

$$x=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-3,y=-2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-5y=-5,2x+2y=-10$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-5\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-5\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-5\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-10\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-10\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{5\times 2-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\times 2-\left(-5\times 2\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{10}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\left(-5\right)+\frac{1}{4}\left(-10\right)\\-\frac{1}{10}\left(-5\right)+\frac{1}{4}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-3,y=-2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-5y=-5,2x+2y=-10$$

Til að gera 5x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$2\times 5x+2\left(-5\right)y=2\left(-5\right),5\times 2x+5\times 2y=5\left(-10\right)$$

Einfaldaðu.

$$10x-10y=-10,10x+10y=-50$$

Dragðu 10x+10y=-50 frá 10x-10y=-10 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-10x-10y-10y=-10+50$$

Leggðu 10x saman við -10x. Liðirnir 10x og -10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-10y-10y=-10+50$$

Leggðu -10y saman við -10y.

$$-20y=-10+50$$

Leggðu -10 saman við 50.

$$-20y=40$$

Deildu báðum hliðum með -20.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í 2x+2y=-10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+2\left(-2\right)=-10$$

Margfaldaðu 2 sinnum -2.

$$2x-4=-10$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=-6$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-3,y=-2$$