Leysa {l}{5x-4y=19}{x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 19 } \\ { x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{33}{7} = 4\frac{5}{7} \approx 4.714285714$$

$$y = \frac{8}{7} = 1\frac{1}{7} \approx 1.142857143$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-4y=19,x+2y=7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-4y=19$$

Leggðu 4y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=4y+19$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y+19\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 4y+19.

$$x=\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}$$

Settu \frac{4y+19}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+2y=7.

$$\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}+2y=7$$

Leggðu \frac{4y}{5} saman við 2y.

$$\frac{14}{5}y+\frac{19}{5}=7$$

Dragðu \frac{19}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{14}{5}y=\frac{16}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{14}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{8}{7}$$

Skiptu \frac{8}{7} út fyrir y í x=\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{4}{5}\times \frac{8}{7}+\frac{19}{5}$$

Margfaldaðu \frac{4}{5} sinnum \frac{8}{7} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{32}{35}+\frac{19}{5}$$

Leggðu \frac{19}{5} saman við \frac{32}{35} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{33}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{33}{7},y=\frac{8}{7}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-4y=19,x+2y=7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{5\times 2-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{5\times 2-\left(-4\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 19+\frac{2}{7}\times 7\\-\frac{1}{14}\times 19+\frac{5}{14}\times 7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{7}\\\frac{8}{7}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{33}{7},y=\frac{8}{7}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-4y=19,x+2y=7$$

Til að gera 5x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$5x-4y=19,5x+5\times 2y=5\times 7$$

Einfaldaðu.

$$5x-4y=19,5x+10y=35$$

Dragðu 5x+10y=35 frá 5x-4y=19 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$5x-5x-4y-10y=19-35$$

Leggðu 5x saman við -5x. Liðirnir 5x og -5x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4y-10y=19-35$$

Leggðu -4y saman við -10y.

$$-14y=19-35$$

Leggðu 19 saman við -35.

$$-14y=-16$$

Deildu báðum hliðum með -14.

$$y=\frac{8}{7}$$

Skiptu \frac{8}{7} út fyrir y í x+2y=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+2\times \frac{8}{7}=7$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{8}{7}.

$$x+\frac{16}{7}=7$$

Dragðu \frac{16}{7} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=\frac{33}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{33}{7},y=\frac{8}{7}$$