Leysa {l}{5x-3y-4=34}{5y-3x-18=34}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y - 4 = 34 } \\ { 5 y - 3 x - 18 = 34 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{173}{8} = 21\frac{5}{8} = 21.625$$

$$y = \frac{187}{8} = 23\frac{3}{8} = 23.375$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-3y-4=34$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x-3y=38$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=3y+38$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+38\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 3y+38.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}$$

Settu \frac{3y+38}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -3x+5y-18=34.

$$-3\left(\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}\right)+5y-18=34$$

Margfaldaðu -3 sinnum \frac{3y+38}{5}.

$$-\frac{9}{5}y-\frac{114}{5}+5y-18=34$$

Leggðu -\frac{9y}{5} saman við 5y.

$$\frac{16}{5}y-\frac{114}{5}-18=34$$

Leggðu -\frac{114}{5} saman við -18.

$$\frac{16}{5}y-\frac{204}{5}=34$$

Leggðu \frac{204}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{16}{5}y=\frac{374}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{16}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{187}{8}$$

Skiptu \frac{187}{8} út fyrir y í x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{5}\times \frac{187}{8}+\frac{38}{5}$$

Margfaldaðu \frac{3}{5} sinnum \frac{187}{8} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{561}{40}+\frac{38}{5}$$

Leggðu \frac{38}{5} saman við \frac{561}{40} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{173}{8}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 38+\frac{3}{16}\times 52\\\frac{3}{16}\times 38+\frac{5}{16}\times 52\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{173}{8}\\\frac{187}{8}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

Til að gera 5x og -3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$-3\times 5x-3\left(-3\right)y-3\left(-4\right)=-3\times 34,5\left(-3\right)x+5\times 5y+5\left(-18\right)=5\times 34$$

Einfaldaðu.

$$-15x+9y+12=-102,-15x+25y-90=170$$

Dragðu -15x+25y-90=170 frá -15x+9y+12=-102 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-15x+15x+9y-25y+12+90=-102-170$$

Leggðu -15x saman við 15x. Liðirnir -15x og 15x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$9y-25y+12+90=-102-170$$

Leggðu 9y saman við -25y.

$$-16y+12+90=-102-170$$

Leggðu 12 saman við 90.

$$-16y+102=-102-170$$

Leggðu -102 saman við -170.

$$-16y+102=-272$$

Dragðu 102 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-16y=-374$$

Deildu báðum hliðum með -16.

$$y=\frac{187}{8}$$

Skiptu \frac{187}{8} út fyrir y í -3x+5y-18=34. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-3x+5\times \frac{187}{8}-18=34$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{187}{8}.

$$-3x+\frac{935}{8}-18=34$$

Leggðu \frac{935}{8} saman við -18.

$$-3x+\frac{791}{8}=34$$

Dragðu \frac{791}{8} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3x=-\frac{519}{8}$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$x=\frac{173}{8}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$