Leysa {l}{5x-3y-2=0}{4x+7y+3=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y - 2 = 0 } \\ { 4 x + 7 y + 3 = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{5}{47}\approx 0.106382979$$

$$y=-\frac{23}{47}\approx -0.489361702$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-3y-2=0,4x+7y+3=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-3y-2=0$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x-3y=2$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=3y+2$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+2\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 3y+2.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

Settu \frac{3y+2}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+7y+3=0.

$$4\left(\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+7y+3=0$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{3y+2}{5}.

$$\frac{12}{5}y+\frac{8}{5}+7y+3=0$$

Leggðu \frac{12y}{5} saman við 7y.

$$\frac{47}{5}y+\frac{8}{5}+3=0$$

Leggðu \frac{8}{5} saman við 3.

$$\frac{47}{5}y+\frac{23}{5}=0$$

Dragðu \frac{23}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{47}{5}y=-\frac{23}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{47}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{23}{47}$$

Skiptu -\frac{23}{47} út fyrir y í x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{23}{47}\right)+\frac{2}{5}$$

Margfaldaðu \frac{3}{5} sinnum -\frac{23}{47} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{69}{235}+\frac{2}{5}$$

Leggðu \frac{2}{5} saman við -\frac{69}{235} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{5}{47}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-3y-2=0,4x+7y+3=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}&\frac{3}{47}\\-\frac{4}{47}&\frac{5}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}\times 2+\frac{3}{47}\left(-3\right)\\-\frac{4}{47}\times 2+\frac{5}{47}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{47}\\-\frac{23}{47}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-3y-2=0,4x+7y+3=0$$

Til að gera 5x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$4\times 5x+4\left(-3\right)y+4\left(-2\right)=0,5\times 4x+5\times 7y+5\times 3=0$$

Einfaldaðu.

$$20x-12y-8=0,20x+35y+15=0$$

Dragðu 20x+35y+15=0 frá 20x-12y-8=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$20x-20x-12y-35y-8-15=0$$

Leggðu 20x saman við -20x. Liðirnir 20x og -20x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-12y-35y-8-15=0$$

Leggðu -12y saman við -35y.

$$-47y-8-15=0$$

Leggðu -8 saman við -15.

$$-47y-23=0$$

Leggðu 23 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-47y=23$$

Deildu báðum hliðum með -47.

$$y=-\frac{23}{47}$$

Skiptu -\frac{23}{47} út fyrir y í 4x+7y+3=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+7\left(-\frac{23}{47}\right)+3=0$$

Margfaldaðu 7 sinnum -\frac{23}{47}.

$$4x-\frac{161}{47}+3=0$$

Leggðu -\frac{161}{47} saman við 3.

$$4x-\frac{20}{47}=0$$

Leggðu \frac{20}{47} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=\frac{20}{47}$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{5}{47}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$