Leysa {l}{5x-3y=2}{6x+2y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 2 } \\ { 6 x + 2 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{11}{28}\approx -0.392857143$$

$$y = -\frac{37}{28} = -1\frac{9}{28} \approx -1.321428571$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-3y=2$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=3y+2$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+2\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 3y+2.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

Settu \frac{3y+2}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 6x+2y=-5.

$$6\left(\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+2y=-5$$

Margfaldaðu 6 sinnum \frac{3y+2}{5}.

$$\frac{18}{5}y+\frac{12}{5}+2y=-5$$

Leggðu \frac{18y}{5} saman við 2y.

$$\frac{28}{5}y+\frac{12}{5}=-5$$

Dragðu \frac{12}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{28}{5}y=-\frac{37}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{28}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{37}{28}$$

Skiptu -\frac{37}{28} út fyrir y í x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{37}{28}\right)+\frac{2}{5}$$

Margfaldaðu \frac{3}{5} sinnum -\frac{37}{28} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{111}{140}+\frac{2}{5}$$

Leggðu \frac{2}{5} saman við -\frac{111}{140} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-\frac{11}{28}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{28}\\-\frac{3}{14}&\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 2+\frac{3}{28}\left(-5\right)\\-\frac{3}{14}\times 2+\frac{5}{28}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{28}\\-\frac{37}{28}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

Til að gera 5x og 6x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$6\times 5x+6\left(-3\right)y=6\times 2,5\times 6x+5\times 2y=5\left(-5\right)$$

Einfaldaðu.

$$30x-18y=12,30x+10y=-25$$

Dragðu 30x+10y=-25 frá 30x-18y=12 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$30x-30x-18y-10y=12+25$$

Leggðu 30x saman við -30x. Liðirnir 30x og -30x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-18y-10y=12+25$$

Leggðu -18y saman við -10y.

$$-28y=12+25$$

Leggðu 12 saman við 25.

$$-28y=37$$

Deildu báðum hliðum með -28.

$$y=-\frac{37}{28}$$

Skiptu -\frac{37}{28} út fyrir y í 6x+2y=-5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$6x+2\left(-\frac{37}{28}\right)=-5$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{37}{28}.

$$6x-\frac{37}{14}=-5$$

Leggðu \frac{37}{14} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$6x=-\frac{33}{14}$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=-\frac{11}{28}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$