Leysa {l}{5x-2y=36(1)}{x+2y=32(2)}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 36 ( 1 ) } \\ { x + 2 y = 32 ( 2 ) } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3} \approx 16.666666667$$

$$y = \frac{71}{3} = 23\frac{2}{3} \approx 23.666666667$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-2y=36,x+2y=64$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-2y=36$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=2y+36$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+36\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 36+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{36}{5}$$

Settu \frac{36+2y}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+2y=64.

$$\frac{2}{5}y+\frac{36}{5}+2y=64$$

Leggðu \frac{2y}{5} saman við 2y.

$$\frac{12}{5}y+\frac{36}{5}=64$$

Dragðu \frac{36}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{12}{5}y=\frac{284}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{12}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{71}{3}$$

Skiptu \frac{71}{3} út fyrir y í x=\frac{2}{5}y+\frac{36}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{71}{3}+\frac{36}{5}$$

Margfaldaðu \frac{2}{5} sinnum \frac{71}{3} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{142}{15}+\frac{36}{5}$$

Leggðu \frac{36}{5} saman við \frac{142}{15} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{50}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{50}{3},y=\frac{71}{3}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-2y=36,x+2y=64$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36\\64\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\64\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\64\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\64\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\times 2-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\64\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{12}&\frac{5}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\64\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 36+\frac{1}{6}\times 64\\-\frac{1}{12}\times 36+\frac{5}{12}\times 64\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{3}\\\frac{71}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{50}{3},y=\frac{71}{3}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-2y=36,x+2y=64$$

Til að gera 5x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$5x-2y=36,5x+5\times 2y=5\times 64$$

Einfaldaðu.

$$5x-2y=36,5x+10y=320$$

Dragðu 5x+10y=320 frá 5x-2y=36 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$5x-5x-2y-10y=36-320$$

Leggðu 5x saman við -5x. Liðirnir 5x og -5x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-2y-10y=36-320$$

Leggðu -2y saman við -10y.

$$-12y=36-320$$

Leggðu 36 saman við -320.

$$-12y=-284$$

Deildu báðum hliðum með -12.

$$y=\frac{71}{3}$$

Skiptu \frac{71}{3} út fyrir y í x+2y=64. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+2\times \frac{71}{3}=64$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{71}{3}.

$$x+\frac{142}{3}=64$$

Dragðu \frac{142}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=\frac{50}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{50}{3},y=\frac{71}{3}$$