Leysa {l}{5x=7z}{8x=9z}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 7 z } \\ { 8 x = 9 z } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, z

$$x=0$$

$$z=0$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 7z frá báðum hliðum.

$$5x-7z=0$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 9z frá báðum hliðum.

$$8x-9z=0$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-7z=0$$

Leggðu 7z saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=7z$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\times 7z$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 7z.

$$x=\frac{7}{5}z$$

Settu \frac{7z}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 8x-9z=0.

$$8\times \frac{7}{5}z-9z=0$$

Margfaldaðu 8 sinnum \frac{7z}{5}.

$$\frac{56}{5}z-9z=0$$

Leggðu \frac{56z}{5} saman við -9z.

$$\frac{11}{5}z=0$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{11}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$z=0$$

Skiptu 0 út fyrir z í x=\frac{7}{5}z. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,z=0$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 7z frá báðum hliðum.

$$5x-7z=0$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 9z frá báðum hliðum.

$$8x-9z=0$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}&-\frac{-7}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}\\-\frac{8}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}&\frac{5}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{11}&\frac{7}{11}\\-\frac{8}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og z.

$$x=0,z=0$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 7z frá báðum hliðum.

$$5x-7z=0$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 9z frá báðum hliðum.

$$8x-9z=0$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

Til að gera 5x og 8x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 8 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$8\times 5x+8\left(-7\right)z=0,5\times 8x+5\left(-9\right)z=0$$

Einfaldaðu.

$$40x-56z=0,40x-45z=0$$

Dragðu 40x-45z=0 frá 40x-56z=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$40x-40x-56z+45z=0$$

Leggðu 40x saman við -40x. Liðirnir 40x og -40x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-56z+45z=0$$

Leggðu -56z saman við 45z.

$$-11z=0$$

Deildu báðum hliðum með -11.

$$z=0$$

Skiptu 0 út fyrir z í 8x-9z=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$8x=0$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,z=0$$