Leysa {l}{5x=2y+16}{7x=32-2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 2 y + 16 } \\ { 7 x = 32 - 2 y } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$5x-2y=16$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 2y við báðar hliðar.

$$7x+2y=32$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-2y=16$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=2y+16$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+16\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 16+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}$$

Settu \frac{16+2y}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 7x+2y=32.

$$7\left(\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}\right)+2y=32$$

Margfaldaðu 7 sinnum \frac{16+2y}{5}.

$$\frac{14}{5}y+\frac{112}{5}+2y=32$$

Leggðu \frac{14y}{5} saman við 2y.

$$\frac{24}{5}y+\frac{112}{5}=32$$

Dragðu \frac{112}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{24}{5}y=\frac{48}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{24}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{16}{5}$$

Margfaldaðu \frac{2}{5} sinnum 2.

$$x=\frac{4+16}{5}$$

Leggðu \frac{16}{5} saman við \frac{4}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=2$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$5x-2y=16$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 2y við báðar hliðar.

$$7x+2y=32$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\-\frac{7}{24}&\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 32\\-\frac{7}{24}\times 16+\frac{5}{24}\times 32\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=4,y=2$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2y frá báðum hliðum.

$$5x-2y=16$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 2y við báðar hliðar.

$$7x+2y=32$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

Til að gera 5x og 7x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$7\times 5x+7\left(-2\right)y=7\times 16,5\times 7x+5\times 2y=5\times 32$$

Einfaldaðu.

$$35x-14y=112,35x+10y=160$$

Dragðu 35x+10y=160 frá 35x-14y=112 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$35x-35x-14y-10y=112-160$$

Leggðu 35x saman við -35x. Liðirnir 35x og -35x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-14y-10y=112-160$$

Leggðu -14y saman við -10y.

$$-24y=112-160$$

Leggðu 112 saman við -160.

$$-24y=-48$$

Deildu báðum hliðum með -24.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í 7x+2y=32. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$7x+2\times 2=32$$

Margfaldaðu 2 sinnum 2.

$$7x+4=32$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7x=28$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=2$$