Leysa {l}{5x+y=9}{10x-7y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 9 } \\ { 10 x - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+y=9$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-y+9$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+9\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -y+9.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}$$

Settu \frac{-y+9}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 10x-7y=-18.

$$10\left(-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}\right)-7y=-18$$

Margfaldaðu 10 sinnum \frac{-y+9}{5}.

$$-2y+18-7y=-18$$

Leggðu -2y saman við -7y.

$$-9y+18=-18$$

Dragðu 18 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-9y=-36$$

Deildu báðum hliðum með -9.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{5}\times 4+\frac{9}{5}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{5} sinnum 4.

$$x=\frac{-4+9}{5}$$

Leggðu \frac{9}{5} saman við -\frac{4}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5\left(-7\right)-10}&-\frac{1}{5\left(-7\right)-10}\\-\frac{10}{5\left(-7\right)-10}&\frac{5}{5\left(-7\right)-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}&\frac{1}{45}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}\times 9+\frac{1}{45}\left(-18\right)\\\frac{2}{9}\times 9-\frac{1}{9}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Til að gera 5x og 10x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 10 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$10\times 5x+10y=10\times 9,5\times 10x+5\left(-7\right)y=5\left(-18\right)$$

Einfaldaðu.

$$50x+10y=90,50x-35y=-90$$

Dragðu 50x-35y=-90 frá 50x+10y=90 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$50x-50x+10y+35y=90+90$$

Leggðu 50x saman við -50x. Liðirnir 50x og -50x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$10y+35y=90+90$$

Leggðu 10y saman við 35y.

$$45y=90+90$$

Leggðu 90 saman við 90.

$$45y=180$$

Deildu báðum hliðum með 45.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í 10x-7y=-18. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$10x-7\times 4=-18$$

Margfaldaðu -7 sinnum 4.

$$10x-28=-18$$

Leggðu 28 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$10x=10$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=4$$