Leysa {l}{5x+y=-1}{2x+5y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = - 1 } \\ { 2 x + 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{12}{23}\approx -0.52173913$$

$$y = \frac{37}{23} = 1\frac{14}{23} \approx 1.608695652$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+y=-1$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-y-1$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y-1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -y-1.

$$x=-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}$$

Settu \frac{-y-1}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+5y=7.

$$2\left(-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}\right)+5y=7$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{-y-1}{5}.

$$-\frac{2}{5}y-\frac{2}{5}+5y=7$$

Leggðu -\frac{2y}{5} saman við 5y.

$$\frac{23}{5}y-\frac{2}{5}=7$$

Leggðu \frac{2}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{23}{5}y=\frac{37}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{23}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{37}{23}$$

Skiptu \frac{37}{23} út fyrir y í x=-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{37}{23}-\frac{1}{5}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{5} sinnum \frac{37}{23} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{37}{115}-\frac{1}{5}$$

Leggðu -\frac{1}{5} saman við -\frac{37}{115} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-\frac{12}{23}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-2}&-\frac{1}{5\times 5-2}\\-\frac{2}{5\times 5-2}&\frac{5}{5\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&-\frac{1}{23}\\-\frac{2}{23}&\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\left(-1\right)-\frac{1}{23}\times 7\\-\frac{2}{23}\left(-1\right)+\frac{5}{23}\times 7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{23}\\\frac{37}{23}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

Til að gera 5x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$2\times 5x+2y=2\left(-1\right),5\times 2x+5\times 5y=5\times 7$$

Einfaldaðu.

$$10x+2y=-2,10x+25y=35$$

Dragðu 10x+25y=35 frá 10x+2y=-2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-10x+2y-25y=-2-35$$

Leggðu 10x saman við -10x. Liðirnir 10x og -10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y-25y=-2-35$$

Leggðu 2y saman við -25y.

$$-23y=-2-35$$

Leggðu -2 saman við -35.

$$-23y=-37$$

Deildu báðum hliðum með -23.

$$y=\frac{37}{23}$$

Skiptu \frac{37}{23} út fyrir y í 2x+5y=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+5\times \frac{37}{23}=7$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{37}{23}.

$$2x+\frac{185}{23}=7$$

Dragðu \frac{185}{23} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-\frac{24}{23}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=-\frac{12}{23}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$