Leysa {l}{5x+8y=7}{6x+9y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 8 y = 7 } \\ { 6 x + 9 y = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-21$$

$$y=14$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+8y=7,6x+9y=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+8y=7$$

Dragðu 8y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-8y+7$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-8y+7\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -8y+7.

$$x=-\frac{8}{5}y+\frac{7}{5}$$

Settu \frac{-8y+7}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 6x+9y=0.

$$6\left(-\frac{8}{5}y+\frac{7}{5}\right)+9y=0$$

Margfaldaðu 6 sinnum \frac{-8y+7}{5}.

$$-\frac{48}{5}y+\frac{42}{5}+9y=0$$

Leggðu -\frac{48y}{5} saman við 9y.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{42}{5}=0$$

Dragðu \frac{42}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{3}{5}y=-\frac{42}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{3}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=14$$

Skiptu 14 út fyrir y í x=-\frac{8}{5}y+\frac{7}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{8}{5}\times 14+\frac{7}{5}$$

Margfaldaðu -\frac{8}{5} sinnum 14.

$$x=\frac{-112+7}{5}$$

Leggðu \frac{7}{5} saman við -\frac{112}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-21$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-21,y=14$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+8y=7,6x+9y=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&8\\6&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&8\\6&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\6&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&8\\6&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\6&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\0\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\6&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\6&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\0\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5\times 9-8\times 6}&-\frac{8}{5\times 9-8\times 6}\\-\frac{6}{5\times 9-8\times 6}&\frac{5}{5\times 9-8\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\0\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&\frac{8}{3}\\2&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 7\\2\times 7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-21\\14\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-21,y=14$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+8y=7,6x+9y=0$$

Til að gera 5x og 6x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$6\times 5x+6\times 8y=6\times 7,5\times 6x+5\times 9y=0$$

Einfaldaðu.

$$30x+48y=42,30x+45y=0$$

Dragðu 30x+45y=0 frá 30x+48y=42 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$30x-30x+48y-45y=42$$

Leggðu 30x saman við -30x. Liðirnir 30x og -30x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$48y-45y=42$$

Leggðu 48y saman við -45y.

$$3y=42$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=14$$

Skiptu 14 út fyrir y í 6x+9y=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$6x+9\times 14=0$$

Margfaldaðu 9 sinnum 14.

$$6x+126=0$$

Dragðu 126 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6x=-126$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=-21$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-21,y=14$$