Leysa {l}{5x+5y=14}{2x+4y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 5 y = 14 } \\ { 2 x + 4 y = 10 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+5y=14$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-5y+14$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-5y+14\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -5y+14.

$$x=-y+\frac{14}{5}$$

Settu -y+\frac{14}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+4y=10.

$$2\left(-y+\frac{14}{5}\right)+4y=10$$

Margfaldaðu 2 sinnum -y+\frac{14}{5}.

$$-2y+\frac{28}{5}+4y=10$$

Leggðu -2y saman við 4y.

$$2y+\frac{28}{5}=10$$

Dragðu \frac{28}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2y=\frac{22}{5}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=\frac{11}{5}$$

Skiptu \frac{11}{5} út fyrir y í x=-y+\frac{14}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{11}{5}+\frac{14}{5}$$

Margfaldaðu -1 sinnum \frac{11}{5}.

$$x=\frac{-11+14}{5}$$

Leggðu \frac{14}{5} saman við -\frac{11}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{3}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-5\times 2}&-\frac{5}{5\times 4-5\times 2}\\-\frac{2}{5\times 4-5\times 2}&\frac{5}{5\times 4-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 14-\frac{1}{2}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 14+\frac{1}{2}\times 10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

Til að gera 5x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$2\times 5x+2\times 5y=2\times 14,5\times 2x+5\times 4y=5\times 10$$

Einfaldaðu.

$$10x+10y=28,10x+20y=50$$

Dragðu 10x+20y=50 frá 10x+10y=28 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-10x+10y-20y=28-50$$

Leggðu 10x saman við -10x. Liðirnir 10x og -10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$10y-20y=28-50$$

Leggðu 10y saman við -20y.

$$-10y=28-50$$

Leggðu 28 saman við -50.

$$-10y=-22$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$y=\frac{11}{5}$$

Skiptu \frac{11}{5} út fyrir y í 2x+4y=10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+4\times \frac{11}{5}=10$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{11}{5}.

$$2x+\frac{44}{5}=10$$

Dragðu \frac{44}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=\frac{6}{5}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{3}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$