Leysa {l}{5x+3y=7}{y=2x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 7 } \\ { y = 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{4}{11}\approx 0.363636364$$

$$y = \frac{19}{11} = 1\frac{8}{11} \approx 1.727272727$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=1$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+3y=7$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-3y+7$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+7\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -3y+7.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}$$

Settu \frac{-3y+7}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -2x+y=1.

$$-2\left(-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}\right)+y=1$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{-3y+7}{5}.

$$\frac{6}{5}y-\frac{14}{5}+y=1$$

Leggðu \frac{6y}{5} saman við y.

$$\frac{11}{5}y-\frac{14}{5}=1$$

Leggðu \frac{14}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{11}{5}y=\frac{19}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{11}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{19}{11}$$

Skiptu \frac{19}{11} út fyrir y í x=-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{19}{11}+\frac{7}{5}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{5} sinnum \frac{19}{11} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{57}{55}+\frac{7}{5}$$

Leggðu \frac{7}{5} saman við -\frac{57}{55} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{4}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=1$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{5-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5-3\left(-2\right)}&\frac{5}{5-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 7-\frac{3}{11}\\\frac{2}{11}\times 7+\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\\\frac{19}{11}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=1$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

Til að gera 5x og -2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$-2\times 5x-2\times 3y=-2\times 7,5\left(-2\right)x+5y=5$$

Einfaldaðu.

$$-10x-6y=-14,-10x+5y=5$$

Dragðu -10x+5y=5 frá -10x-6y=-14 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-10x+10x-6y-5y=-14-5$$

Leggðu -10x saman við 10x. Liðirnir -10x og 10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-6y-5y=-14-5$$

Leggðu -6y saman við -5y.

$$-11y=-14-5$$

Leggðu -14 saman við -5.

$$-11y=-19$$

Deildu báðum hliðum með -11.

$$y=\frac{19}{11}$$

Skiptu \frac{19}{11} út fyrir y í -2x+y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-2x+\frac{19}{11}=1$$

Dragðu \frac{19}{11} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2x=-\frac{8}{11}$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=\frac{4}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$